[論文レビュー] Distributed Phase Estimation Algorithm and Distributed Shor's Algorithm

Ligang Xiao, Daowen Qiu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Shorの整数因数分解アルゴリズムのための分散型量子古典ハイブリッド順序特定アルゴリズムを提案する。これにより、複数の小型量子コンピュータが協働して $ s/r $ の小数部を推定可能となり、量子ビット数とゲート数の要件が低減される。重複するビット推定値を用いた古典的後処理により、測定誤差を補正する。その結果、1台あたりの量子ビット数はほぼ $ (1 - 1/k)L - \log_2 k $ 減少し、通信複雑度は $ O(kL) $ を維持する。

ABSTRACT

Shor's algorithm is one of the most significant quantum algorithms. Shor's algorithm can factor large integers with a certain success probability in polynomial time. However, Shor's algorithm requires an unbearable amount of qubits in the NISQ (Noisy Intermediate-scale Quantum) era. To reduce the resources required for Shor's algorithm, in this paper we first propose a new distributed phase estimation algorithm. Our distributed phase estimation algorithm does not require quantum communication and it reduces the number of qubits of a single node compared to the traditional phase estimation algorithm (non-iterative version). Then we apply our distributed phase estimation algorithm to form a distributed order-finding algorithm for Shor's algorithm. Compared with the traditional Shor's algorithm (non-iterative version), the maximum number of qubits required by a single node of our dristributed order-finding algorithm is reduced by $(2-\dfrac{2}{k})L-\log_2k-O(1)$ when factoring an $L$-bit integer ($k$ is the number of compute nodes). The communication complexity of our distributed order-finding algorithm is $O(kL)$.

研究の動機と目的

• NISQ時代における大規模なフォールトトレランス型量子コンピュータがまだ利用可能でない中、Shorのアルゴリズムが要求する高い量子ビット数と回路深さの課題に対処すること。
• 複数のノードにわたって順序特定タスクを分散化することで、個々の量子コンピュータにおけるリソース要件（特に量子ビット数、ゲート複雑度、回路深さ）を低減すること。
• 分散型量子アルゴリズムにおける通信オーバーヘッドを最小限に抑え、従来の $ O(L^2) $ ではなく $ O(kL) $ の複雑度を達成すること。
• 部分的ビット推定値に対する古典的誤差補正を組み合わせた量子計算と併用することで、Shorのアルゴリズムの実用的実装を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、Shorのアルゴリズムの順序特定ステップを $ k $ 台の量子コンピュータに分散化する。各コンピュータは $ s/r $ の小数部の異なるセグメントを推定する。
• 各コンピュータは、$ 2L+1+p $-キュービットレジスタの一部に対して位相推定を実行し、ノードあたり $ t_j = L/k + p + 2 $ キュービットを対象とする。
• 隣接するコンピュータ間で重複するビット推定値を用い、古典的後処理により測定誤差を補正できるようにする。
• 古典的プログラムは、重複するビットを統合・検証することで、個々のノイズにもかかわらず正確な全 $ s/r $ 推定値を再構築する。
• 連続するコンピュータ間で $ L $ キュービットを転送するために量子テレポーテーションを用い、1回の転送あたり $ 2L $ ビットの古典的通信が必要となる。
• 各ノードの回路内では、量子フーリエ変換と制御-$ U^a $ 操作が使用され、深さとゲート複雑度は、最後のノードを除きすべて $ 1/k $ にスケーリングされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Shorのアルゴリズムにおける順序特定サブルーチンを、$ k $ 台の量子コンピュータに効果的に分散化できるか？
• RQ2 重複するビットセグメントにおける測定誤差を、古典的後処理によりどのように軽減できるか？
• RQ3 分散型Shorアルゴリズムにおいて、量子ビット数の削減、回路深さ、通信コストの間にはどのようなトレードオフがあるか？
• RQ4 通信複雑度を、従来の $ O(L^2) $ ではなく $ O(kL) $ にまで低減できるか？
• RQ5 このハイブリッド量子古典的アプローチを、高精度位相推定を要する他の量子アルゴリズムへ拡張するのは現実的か？

主な発見

• $ L $ ビット整数を因数分解する場合、従来のShorのアルゴリズムと比較して、提案されたアルゴリズムは1台あたりの量子ビット数をほぼ $ (1 - 1/k)L - \log_2 k $ 減少させる。
• 最初の $ k-1 $ ノードでは、1台あたりのゲート複雑度が $ O(L^3/k) $ に低下し、元のアルゴリズムの $ O(L^3) $ と比較して低減される。最後のノードでは $ O(L^3) $ に保たれる。
• 最初の $ k-1 $ ノードでは、回路深さが $ O(L^3/k) $ に低下し、NISQ制約下でのスケーラビリティが向上する。
• 通信複雑度は $ O(kL) $ であり、従来の分散型Shorアルゴリズムの $ O(L^2) $ と比較して顕著に低減されている。
• リソース削減と逐次実行の間のトレードオフが可能であり、古典的補正により個々のノードの誤差にもかかわらず精度が向上する。
• アルゴリズムは $ k $ ノードにスケーラブルであり、離散対数問題や線形系問題など、分散型量子アルゴリズムの拡張のためのフレームワークを提供する。