[論文レビュー] Distributed pursuit algorithms for probabilistic adversaries on connected graphs

Jesse Geneson|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Crime, Illicit Activities, and Governance参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、k人のコップが接続グラフ上で確率的敵（ギャンブラー）を追跡する分散型追跡アルゴリズムを研究する。既知、未知、および既知で変化するギャンブラーの3つの状況において、コップが最適な初期位置を選択した場合、期待捕獲時間はΘ(n/k)であることが示された。セクタ分割と深さ優先探索戦略を用いて、3つの敵モデルすべてにおいてタイトな境界を達成した。

ABSTRACT

A gambler moves between the vertices $1, \ldots, n$ of a graph using the probability distribution $p_{1}, \ldots, p_{n}$. Multiple cops pursue the gambler on the graph, only being able to move between adjacent vertices. We investigate the expected capture time for the gambler against $k$ cops as a function of $n$ and $k$ for three versions of the game: (1) known gambler: the cops know the gambler's distribution (2) unknown gambler: the cops do not know the gambler's distribution (3) known changing gambler: the gambler's distribution can change every turn, but the cops know all of the gambler's distributions from the beginning. We show for $n > k$ that if the cops are allowed to choose their initial positions before the game starts and before they know the gambler's distribution(s), and if both the gambler and the cops play optimally, then the expected capture time is $Θ(n/k)$ for the known gambler, the unknown gambler, and the known changing gambler.

研究の動機と目的

• 異なる情報仮定のもとで、k人のコップが接続n頂点グラフ上で確率的ギャンブラーを追跡する際の期待捕獲時間を分析すること。
• ギャンブラーの分布を学習する前に対象の初期位置を選べる場合のコップの最適戦略を特定すること。
• 既知、未知、および既知で変化するギャンブラーの3つの敵モデルにおける期待捕獲時間のタイトな漸近的境界を確立すること。
• グラフ分割と深さ優先探索を用いた分散アルゴリズムを開発し、敵の不確実性下でも最適な性能を達成すること。
• 接続グラフ上でのさまざまな追跡ゲームの変種における最悪ケース捕獲時間の境界に関する未解決の問題を解消すること。

提案手法

• スパニングツリーと頂点部分集合選択に関する補題1を用いて、n頂点の接続グラフを高々k個のサイズが2n/k + 1以下の接続セクタに分割する。
• 各コップにセクタを割り当て、そのセクタのスパニング部分木上で深さ優先探索（DFS）を実行する。葉では追加の移動を実施してカバーを確保する。
• ランダムなコイン投げでDFSの進行方向（前進または後退）を決定し、1サイクルあたりの期待探索時間を3n/k + 1以下に短縮する。
• 捕獲が発生するまでDFSサイクルを繰り返す。各ラウンドの回避確率はe^(-2)以下であり、期待ラウンド数は約1/(1 - e^(-2))となる。
• 既知で変化するギャンブラーの場合、2段階のラウンドを採用する：まず高確率頂点へ移動し、その後それらをパトロールする。共有頂点の処理によりカバーを保証する。
• グラフの直径dを活用して、低径路グラフに対してよりタイトな境界を導出する。dターンごとにコップを再配置することで、周期的な再配置を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続n頂点グラフ上で、既知のギャンブラーとk人のコップの間で、最大の期待捕獲時間は何か？
• RQ2 接続n頂点グラフ上で、未知のギャンブラーとk人のコップの間で、最大の期待捕獲時間は何か？
• RQ3 接続n頂点グラフ上で、既知で変化するギャンブラーとk人のコップの間で、最大の期待捕獲時間は何か？
• RQ4 接続n頂点グラフ上で、未知で変化するギャンブラーとk人のコップの間で、最大の期待捕獲時間は何か？
• RQ5 グラフの直径は、確率的敵を相手にした追跡ゲームにおける期待捕獲時間にどのように影響するか？

主な発見

• 既知のギャンブラーの場合、コップが最適な初期位置を選択した場合、ギャンブラーの分布にかかわらず、期待捕獲時間は正確にmax(1, n/k)である。
• 未知のギャンブラーの場合、セクタベースのDFSとランダムな進行方向選択により、期待捕獲時間は3.94n/k + 1.16以下に抑えられる。
• 既知で変化するギャンブラーの場合、変化する分布に適応する2段階ラウンド戦略を用いることで、期待捕獲時間は6.33n/k + 3.17以下に抑えられる。
• 直径dのグラフでは、既知で変化するギャンブラーの期待捕獲時間は1 + dn/k以下であり、星形グラフのような低径路グラフでは境界が改善される。
• 3つのモデル（既知、未知、既知で変化）とも、n > kのときすべてΘ(n/k)の期待捕獲時間を達成しており、漸近的に最適であることが示された。
• 変化するギャンブラーに対してΩ(n/k)の下界が成り立つため、上界が漸近的にタイトであることが確認された。