[論文レビュー] Distributed shape derivative via averaged adjoint method and applications

Antoine Laurain, Kevin Sturm|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2015

Numerical methods in engineering参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、分布型形状微分を計算するための新しい平均化随伴法を提案する。従来の境界に基づく形状微分とは異なり、より一般かつ数値的に安定した代替手法を提供する。形状最適化および電気インピーダンス tomography (EIT) における有効性を示し、ノイズ下でも高精度な再構成が可能であり、収束が速い（約340反復）ことを確認した。

ABSTRACT

The structure theorem of Hadamard-Zolésio states that the derivative of a shape functional is a distribution on the boundary of the domain depending only on the normal perturbations of a smooth enough boundary. Actually the domain representation, also known as distributed shape derivative, is more general than the boundary expression as it is well-defined for shapes having a lower regularity. It is customary in the shape optimization literature to assume regularity of the domains and use the boundary expression of the shape derivative for numerical algorithms. In this paper we describe several advantages of the distributed shape derivative in terms of generality, easiness of computation and numerical implementation. We identify a tensor representation of the distributed shape derivative, study its properties and show how it allows to recover the boundary expression directly. We use a novel Lagrangian approach, which is applicable to a large class of shape optimization problems, to compute the distributed shape derivative. We also apply the technique to retrieve the distributed shape derivative for electrical impedance tomography. Finally we explain how to adapt the level set method to the distributed shape derivative framework and present numerical results.

研究の動機と目的

• 低正則性領域や滑らかでないデータ設定における境界ベースの形状微分の限界を解消すること。
• 境界積分ではなく領域積分を用いることで、より一般かつ数値的に安定した形状微分の定式化を提供すること。
• 全領域に定義された形状勾配を提供することで、レベルセット法とのスムーズな統合を可能にすること。
• 電気インピーダンストモグラフィー（EIT）の重度に不適切な逆問題を解くことにおける本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 境界表現と領域表現を統一する分布型形状微分のテンソル表現を開発する。
• 効率的に分布型形状微分を計算するための、新規のラグランジュに基づく平均化随伴法を導入する。
• 線形ラグランジュ要素を用いた有限要素法により、形状勾配を離散化し、降下方向PDEを解く。
• 勾配ベース最適化アルゴリズムにおけるステップサイズ制御にアーミジョ線探索を適用する。
• レベルセット法を、再メッシュ化を伴わずに領域レベルでの更新が可能な分布型形状微分に直接適用するように拡張する。
• EITにおいて、複数のフラックス測定を用いて、ノイズレベルが異なるインクルージョンを再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュフレームワークを用いて、分布型形状微分を効率的かつ正確に計算できるか？
• RQ2 数値的安定性および精度の観点から、分布型形状微分は境界表現よりも優れているか？
• RQ3 平均化随伴法は、広範な形状最適化問題のクラスに一般化可能か？
• RQ4 分布型形状微分は、電気インピーダンストモグラフィーの逆問題を解くのにどれほど有効か？
• RQ5 EITにおけるノイズのある測定下でも、本手法の収束特性およびロバスト性はいかがなものか？

主な発見

• 境界表現に比べ、分布型形状微分は非滑らかまたは低正則性領域においてより一般的でロバストな定式化を提供する。
• グリッド上での直接的な勾配計算により、界面での補間誤差を回避し、伝達問題における数値精度を向上させる。
• EITにおける2つの楕円の再構成では、3つの測定値と平均340反復で、7%のノイズ下でも高い精度が達成された。
• 7つの測定値と1.55%のノイズ下で3つのインクルージョンを再構成した場合、371反復で良好な再構成が得られた。
• 従来のレベルセット法（2000～50000反復）と比較して、本手法は収束が速く、約300反復で収束した。
• 本手法はノイズに対してロバストであり、EIT問題の不適切さにもかかわらず、良好な再構成品質を維持した。