[論文レビュー] Distributed Symmetry Breaking in Hypergraphs

Shay Kutten, Danupon Nanongkai+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、超グラフにおける基本的な対称性打破問題のための、初めての高速な確率的分散アルゴリズムを提示する。LOCALモデルでは最大独立集合（MIS）に対して$O(\log^2 n)$ラウンドのアルゴリズムを、CONGESTモデルでは任意の$\epsilon > 0$に対して$O(\Delta^{\epsilon} \operatorname{polylog} n)$ラウンドのアルゴリズムを提示する。主な貢献は、超グラフMISが効率的に解けることを示したことであり、これにより、バランスの取れた最小支配集合（BMDS）や最小連結支配集合（MCDS）といったグラフ問題の高速アルゴリズムが可能になる。

ABSTRACT

Fundamental local symmetry breaking problems such as Maximal Independent Set (MIS) and coloring have been recognized as important by the community, and studied extensively in (standard) graphs. In particular, fast (i.e., logarithmic run time) randomized algorithms are well-established for MIS and $Δ+1$-coloring in both the LOCAL and CONGEST distributed computing models. On the other hand, comparatively much less is known on the complexity of distributed symmetry breaking in {\em hypergraphs}. In particular, a key question is whether a fast (randomized) algorithm for MIS exists for hypergraphs. In this paper, we study the distributed complexity of symmetry breaking in hypergraphs by presenting distributed randomized algorithms for a variety of fundamental problems under a natural distributed computing model for hypergraphs. We first show that MIS in hypergraphs (of arbitrary dimension) can be solved in $O(\log^2 n)$ rounds ($n$ is the number of nodes of the hypergraph) in the LOCAL model. We then present a key result of this paper --- an $O(Δ^ε ext{polylog}(n))$-round hypergraph MIS algorithm in the CONGEST model where $Δ$ is the maximum node degree of the hypergraph and $ε> 0$ is any arbitrarily small constant. To demonstrate the usefulness of hypergraph MIS, we present applications of our hypergraph algorithm to solving problems in (standard) graphs. In particular, the hypergraph MIS yields fast distributed algorithms for the {\em balanced minimal dominating set} problem (left open in Harris et al. [ICALP 2013]) and the {\em minimal connected dominating set problem}. We also present distributed algorithms for coloring, maximal matching, and maximal clique in hypergraphs.

研究の動機と目的

• 超グラフにおける対称性打破問題の分散複雑性の理解のギャップを埋めること、特に最大独立集合（MIS）に関して。
• MIS、彩色、最大マッチング、最大クリークといった基本的な超グラフ問題のための効率的な確率的分散アルゴリズムを開発すること。
• 標準グラフにおける古典的問題（例：バランスの取れた最小支配集合（BMDS）や最小連結支配集合（MCDS））を解くために、超グラフアルゴリズムの有用性を調査すること。
• CONGESTモデルにおいて、多項式対数時間で解ける問題（例：彩色）と、依然として困難である問題（例：MIS、ヘッジセット）との間の二分法的性質を調査すること。

提案手法

• 頂点中心型とサーバークライントの表現を区別する、超グラフのための新しい分散計算モデルを提案する。
• ハイパーエッジレベルの調整を用いたルビーのアルゴリズムの変種を用いて、LOCALモデルで$O(\log^2 n)$ラウンドの確率的MISアルゴリズムを設計する。
• 問題をライングラフに還元し、効率的なメッセージ伝達を用いてルビーのアルゴリズムをシミュレートすることで、CONGESTモデルで$O(\Delta^{\epsilon} \operatorname{polylog} n)$ラウンドのMISアルゴリズムを構築する。
• 超グラフにおける$(\Delta+1)$-彩色問題がエッジの縮約を介して標準グラフ彩色に還元可能であることを証明し、$O(\log n)$ラウンドでの解法を可能にする。
• 超グラフにおける最大マッチング問題をライングラフ上のMISに還元し、ルビーのアルゴリズムのシミュレーションにより$O(\log n)$ラウンドでの解法を可能にする。
• 超グラフMISアルゴリズムを用いて、標準グラフにおけるBMDSおよびMCDS問題のための高速分散アルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CONGESTモデルにおいて、超グラフでMISのための高速（多項式対数時間）な確率的アルゴリズムが達成可能か。
• RQ2 超グラフにおける基本的な対称性打破問題（例：彩色、最大マッチング、最大クリーク）の分散複雑性は何か。
• RQ3 超グラフアルゴリズムを活用して、標準グラフにおける古典的問題のためのより高速な分散アルゴリズムを設計できるか。
• RQ4 超グラフ問題の複雑性に根本的な二分法的性質があるか。特に、CONGESTモデルにおいて、彩色のような問題は多項式対数時間で解けるが、MISのような問題は多項式対数時間で解くのが困難である。
• RQ5 CONGESTモデルにおいて、高次元超グラフにおけるMISに対して、超多項式対数時間の下界を示せるか。

主な発見

• LOCALモデルにおいて、超グラフにおけるMISに対して$O(\log^2 n)$ラウンドの確率的アルゴリズムを達成し、標準グラフにおける最良の既知の境界と一致する。
• 任意の$\epsilon > 0$に対して、CONGESTモデルで$O(\Delta^{\epsilon} \operatorname{polylog} n)$ラウンドのMISアルゴリズムを提示し、多項式対数時間境界への大きな一歩を示す。
• 超グラフにおける$(\Delta+1)$-彩色問題が、標準グラフ彩色と同等に容易であることが示され、LOCALおよびCONGESTモデルの両方で$O(\log n)$ラウンドで解ける。
• CONGESTモデルにおいて、超グラフにおける最大マッチング問題は、ライングラフ上のMISに還元可能であり、$O(\log n)$ラウンドで解ける。
• 超グラフMISアルゴリズムにより、標準グラフにおけるバランスの取れた最小支配集合（BMDS）および最小連結支配集合（MCDS）問題のための、初めての高速分散アルゴリズムが構築可能である。
• 結果から、CONGESTモデルにおける複雑性の二分法的性質が示唆される：彩色や最大マッチングのような問題は多項式対数時間で解けるが、MISや関連問題は多項式対数時間で解くのが依然として困難である。