[論文レビュー] Distributed triangle detection via expander decomposition

Yi‐Jun Chang, Seth Pettie+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Algorithms and Data Compression被引用数 25

ひとこと要約

本論文は、CONGESTモデルにおいてO(n^{1/2})ラウンドで三角形検出、カウント、列挙を実行できる、新しい分散型グラフ分割技術を提示する—これにより、以前のO(n^{2/3})およびO(n^{3/4})の境界を改善する。この手法はエッジを高伝導率・低辺数の構造、低辺数の構造、および残差成分に分割し、それぞれに特化したアルゴリズムを適用するとともに、高伝導率部分グラフ上でクリークアルゴリズムをルーティング方式を用いてシミュレートする。

ABSTRACT

We present improved distributed algorithms for triangle detection and its variants in the CONGEST model. We show that Triangle Detection, Counting, and Enumeration can be solved in O(n1/2) rounds. In contrast, the previous state-of-the-art bounds for Triangle Detection and Enumeration were O(n2/3) and O(n3/4), respectively, due to Izumi and LeGall (PODC 2017).The main technical novelty in this work is a distributed graph partitioning algorithm. We show that in O(n1 − δ) rounds we can partition the edge set of the network G = (V, E) into three parts E = Em ∩ Es ∩ Er such that• Each connected component induced by Em has minimum degree Ω(nδ) and conductance Ω(1/polylog(n)). As a consequence the mixing time of a random walk within the component is O(polylog(n)).• The subgraph induced by Es has arboricity at most nδ.• |Er| ≤ |E|/6.All of our algorithms are based on the following generic framework, which we believe is of interest beyond this work. Roughly, we deal with the set Es by an algorithm that is efficient for low-arboricity graphs, and deal with the set Er using recursive calls. For each connected component induced by Em, we are able to simulate CONGESTED-CLIQUE algorithms with small overhead by applying a routing algorithm due to Ghaffari, Kuhn, and Su (PODC 2017) for high conductance graphs.

研究の動機と目的

• CONGESTモデルにおける分散型三角形検出、カウント、列挙のラウンド複雑性を改善すること。
• 構造的性質が異なる成分にエッジを分離する分散型グラフ分割スキームを設計すること。
• 高伝導率グラフのルーティングプロトコルを用いて、CONGESTED-CLIQUEアルゴリズムを高伝導率部分グラフ上で効率的にシミュレートできること。
• 再帰的に残差エッジを処理し、低辺数構造を活用することで、全体のラウンド複雑性を低減すること。

提案手法

• エッジ集合Eを三つの部分に分割する：Em（高伝導率・高最小次数の成分）、Es（低辺数の構造）、Er（小さな残差集合）。
• Emに属する各成分は最小次数Ω(n^δ)および伝導率Ω(1/polylog(n))を満たし、ランダムウォークの高速混合を保証する。
• Esが誘導する部分グラフの辺数はn^δ以下であり、低辺数のアルゴリズムにより効率的に処理可能である。
• 残差集合Erのサイズは|E|/6以下であり、サイズが段階的に減少する再帰的処理が可能である。
• 各Em成分に対して、Ghaffari, Kuhn, and Su (PODC 2017) のルーティングプロトコルを用いて、CONGESTED-CLIQUEアルゴリズムの小さなオーバーヘッドでシミュレートする。
• 全体のフレームワークは、EsとErのための特化アルゴリズムと、Emにおけるシミュレーションを統合し、より良いラウンド複雑性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CONGESTモデルにおける三角形検出は、o(n^{2/3})ラウンドで解けるか？
• RQ2 構造的性質が異なる成分にエッジを分離する分散型グラフ分割スキームを設計し、それらの成分固有のアルゴリズムを用いて三角形関連問題を効率的に処理できるか？
• RQ3 高伝導率部分グラフを活用することで、CONGESTED-CLIQUEモデル向けの高速アルゴリズムをシミュレートできるか？
• RQ4 ラウンド複雑性の向上を達成するにあたり、成分の伝導率、辺数、および残差エッジサイズのトレードオフは何か？

主な発見

• 三角形検出、カウント、列挙はすべて、CONGESTモデルでO(n^{1/2})ラウンドで解ける。これは、以前のO(n^{2/3})およびO(n^{3/4})の境界を改善する。
• 提案された分散型拡張分解により、エッジが三つの構造的保証を持つ部分に分割される：高伝導率、低辺数、および小さな残差サイズ。
• Emに属する各連結成分は最小次数Ω(n^δ)および伝導率Ω(1/polylog(n))を満たし、ランダムウォークの混合時間はO(polylog(n))であることが保証される。
• Esが誘導する部分グラフの辺数はn^δ以下であり、低辺数のアルゴリズムにより効率的に処理可能である。
• 残差集合Erには最大|E|/6のエッジが含まれ、ラウンドごとにサイズが減少する再帰的処理が可能である。
• フレームワークにより、Ghaffari, Kuhn, and Su (PODC 2017) のルーティングプロトコルを活用して、高伝導率成分上でCONGESTED-CLIQUEアルゴリズムを小さなオーバーヘッドでシミュレート可能である。