[論文レビュー] Distribution and Dependence of Extremes in Network Sampling Processes

Konstantin Avrachenkov, Natalia M. Markovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 38被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、二変量パレート次数相関を仮定したもとで、ランダムウォーク（RW）、ジャンプ付きランダムウォーク（RWJ）、ページランク（PR）のネットワークサンプリングプロセスにおける極値依存構造を分析し、極値指数（EI）を導出する。RWJのEIはジャンプ確率およびネットワーク平均次数に依存する要因によって低減されるのに対し、PRのEIは(1−c)によって下界で抑えられ、サンプリングに基づくネットワーク推論における極値行動に理論的保証を提供する。

ABSTRACT

We explore the dependence structure in the sampled sequence of large networks. We consider randomized algorithms to sample the nodes and study extremal properties in any associated stationary sequence of characteristics of interest like node degrees, number of followers or income of the nodes in Online Social Networks etc, which satisfy two mixing conditions. Several useful extremes of the sampled sequence like $k$th largest value, clusters of exceedances over a threshold, first hitting time of a large value etc are investigated. We abstract the dependence and the statistics of extremes into a single parameter that appears in Extreme Value Theory, called extremal index (EI). In this work, we derive this parameter analytically and also estimate it empirically. We propose the use of EI as a parameter to compare different sampling procedures. As a specific example, degree correlations between neighboring nodes are studied in detail with three prominent random walks as sampling techniques.

研究の動機と目的

• 極値指数（EI）を用いて、ネットワークサンプリングプロセスにおける極値次数の依存構造を特徴づけること。
• 基礎となるネットワークにおける次数相関が、ランダムウォークおよびページランクサンプリングの極値行動に与える影響を分析すること。
• ランダムウォークとジャンプの組み合わせ（RWJ）の極値指数の解析的表現を導出することにより、複雑な裾分布の逆算を回避すること。
• 次数相関構造に依存しないページランクプロセスの極値指数の下界を確立すること。

提案手法

• 次数遷移をパrameter化したマコフ連鎖モデルを用いて、ネットワークサンプリングプロセスをモデル化する。
• 隣接ノード間の次数相関を二変量パレート分布でモデル化する。
• 混合ネットワーク次数分布と一様ジャンプ成分を用いて、RWJの同時密度および裾分布を導出する。
• 極値指数の漸近的分析を検証するため、混合条件D(un)およびD′′(un)を適用する。
• 条件付き超過確率を用いたEIの極限定義を用いて、RWおよびRWJの式を導出する。
• 極値理論の既知の結果および生存関数近似を用いて、ページランクのEIを上限・下限で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ付きランダムウォーク（RWJ）の極値指数は、ネットワークの平均次数およびジャンプ確率にどのように依存するか？
• RQ2 二変量パレート次数相関下でのRWJの極値指数の解析的形は何か？
• RQ3 次数相関の存在は、ネットワークサンプリングにおける極値次数のクラスタリングにどのように影響するか？
• RQ4 次数相関構造に依存しないページランクの極値指数の下界を確立できるか？
• RQ5 マコフ的サンプリングプロセスにおいて、次数の同時裾行動と極値指数の関係は何か？

主な発見

• RWJの極値指数は、θ = 1 − E[D]/(E[D] + α) × 2^−γ で与えられ、ここでγはパレート裾指数、αはジャンプ確率を制御するパrameterである。
• ランダムウォーク（RW）の極値指数はθ = 1 − 1/(2γ) であり、γ = 1のときθ = 1/2 となる。
• RWJの同時裾分布は、ネットワークの次数裾分布と一様ジャンプ成分の凸結合であり、重みはそれぞれE[D]/(E[D] + α) と α/(E[D] + α) である。
• ページランクプロセスの極値指数は、(1 − c)によって下界で抑えられ、次数相関構造とは無関係である。ここでcはトランジット確率（テレポート確率）である。
• RWJの導出では、D′′(un)条件と漸近的近似を活用することで、周辺裾分布の直接逆算を回避している。
• 生存関数 ¯F_RWJ(un) ≈ τ/n + o(1/n) の漸近的挙動により、重裾次数分布下でのEIの導出が可能になった。