[論文レビュー] Distribution des preimages et des points periodiques d'une correspondance polynomiale

Tien‐Cuong Dinh|ArXiv.org|Mar 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Löojasiewicz指数 l > 1 を持つ多項式対応関係 F = f∘g⁻¹ に対して、均衡測度 μ を構成し、μ が一般点の逆像の分布として生じ、そしてその台上で反発的周期点が等分布することを示している。主な貢献は、このような対応関係の力学的性質を用いて、多項式の無限一意性集合を特徴付けることにある。

ABSTRACT

We construct an equilibrium measure $μ$ for a polynomial correspondence F of Lojasiewicz exponent l>1. We then show that $μ$ can be built as the distribution of preimages of a generic point and that the expansive periodic points are equidistributed on the support of $μ$. Using this results, we will give a characterization of infinite unique sets for polynomials.

研究の動機と目的

• Löojasiewicz指数 l > 1 を持つ多項式対応関係に対して、均衡測度 μ の存在および不変性を確立すること。
• μ が一般点の逆像測度の弱収束極限として得られることを示し、Briend-Duval の結果を多価写像へと拡張すること。
• 対応関係 F = f∘g⁻¹ の力学的性質と関連付けて、多項式の無限一意性集合を特徴付けること。
• 対応関係の反発的周期点が μ の台上で等分布することを証明すること。
• 回転対称性やチェビシェフ型例外を除き、コンパクト集合 K が多項式の無限一意性集合であるための力学的条件を動的に特徴付けること。

提案手法

• [11] の技術を多項式対応関係へ一般化する dd^c 型解消法を用いて、均衡測度 μ を構成する。
• Löojasiewicz指数 l > 1 を用いて、無限遠点における十分な減衰を保証し、逆像測度の収束を可能にする。
• 射影 π_A のファイバー上でのFubini型積分を適用し、d₂⁻ⁿ[Yₙ] が π₁*μ に弱収束することを示す。
• 例外集合 𝔈 を最大の適切な F⁻¹ 不変代数的部分集合 𝔈₀ の正の軌道として定義し、それが多複素変数極値集合であることを証明する。
• Lyubich や Briend-Duval の手法を適応し、一般点周辺の小さな球内における逆分岐写像の制御とそのサイズを制御する。
• F* による μ の不変性および指数的速さでの混合性を用いて、反発的周期点の等分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Löojasiewicz指数 l > 1 を持つ多項式対応関係に対して、均衡測度をどのように構成できるか？
• RQ2 均衡測度 μ が、対応関係下での一般点の逆像の分布として、どのような意味で成立するか？
• RQ3 μ の台上で反発的周期点が等分布することと、多項式の逆像集合の一意性性質とは、どのように関係するか？
• RQ4 コンパクト集合 K に対して、どのような力学的条件が、それが多項式の無限一意性集合であることを示唆するか？
• RQ5 回転対称性やチェビシェフ型集合などの例外的状況は、コンパクト集合が無限一意性集合でなくなるのを防ぐか？

主な発見

• Löojasiewicz指数 l > 1 を持つ多項式対応関係 F に対して、均衡測度 μ は F*-不変であり、指数的速さでの混合性を示し、多複素変数極値集合には質量を割り当てない。
• 任意の例外集合 𝔈 の外側にある点の逆像の正規化された数え上げ測度が、μ に弱収束する。
• 例外集合 𝔈 は最大の適切な代数的 F⁻¹ 不変部分集合 𝔈₀ の正の軌道であり、多複素変数極値集合である。
• 対応関係 F の反発的周期点は、μ の台上で等分布しており、Briend-Duval の結果を対応関係へ一般化している。
• ℂ 内の無限コンパクト集合 K が多項式の一意性集合であるための必要十分条件は、K がジュリア型集合ではなく、かつ任意の回転に対して不変でないことである。
• f, g を非定数多項式とし、f⁻¹(K) = g⁻¹(K) であるとき、deg(f) = deg(g) ならば f = R∘g となる回転 R が存在し、deg(f) > deg(g) ならば f = P∘g で P⁻¹(K) = K となるが、円周または区間 [−1,1] とチェビシェフ多項式を含む2つの例外ケースを除いて成り立つ。