[論文レビュー] Distribution-free consistent independence tests via center-outward ranks and signs

Hongjian Shi, Mathias Drton+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、任意の次元をもつ2つの多変量確率ベクトル間の独立性を検定する、初めての分布フリーで一致する検定を提案する。この手法は、距離共分散と中心外向きランク・サインを組み合わせるもので、パーミュテーションを用いずに漸近的に正確な帰無分布の近似が可能であり、直接実装可能である。また、中程度のサンプルサイズでも高次元において強い検出力を持つことが示された。

ABSTRACT

This paper investigates the problem of testing independence of two random vectors of general dimensions. For this, we give for the first time a distribution-free consistent test. Our approach combines distance covariance with the center-outward ranks and signs developed in Hallin (2017). In technical terms, the proposed test is consistent and distribution-free in the family of multivariate distributions with nonvanishing (Lebesgue) probability densities. Exploiting the (degenerate) U-statistic structure of the distance covariance and the combinatorial nature of Hallin's center-outward ranks and signs, we are able to derive the limiting null distribution of our test statistic. The resulting asymptotic approximation is accurate already for moderate sample sizes and makes the test implementable without requiring permutation. The limiting distribution is derived via a more general result that gives a new type of combinatorial non-central limit theorem for double- and multiple-indexed permutation statistics.

研究の動機と目的

• 一般条件下で分布フリーである、多変量確率ベクトル間の独立性検定を一貫性を持って開発すること。
• 従来の距離共分散およびカーネルベースの検定が帰無分布に分布依存性を示すためパーミュテーションを必要としているという制限を克服すること。
• 従来は単変量設定でのみ用いられてきた中心外向きランク・サインを、多変量独立性フレームワークに統合すること。
• 中心外向きランクを用いた距離共分散ベースの検定統計量の極限的帰無分布を、解析的に取り扱える形かつ中程度のサンプルサイズでも正確に得ること。
• 理論的結果を支えるために、二重インデックスおよび複数インデックスのパーミュテーション統計量に関する新しい組合せ的非中心極限定理を確立すること。

提案手法

• 検定は距離共分散と中心外向きランク・サインを組み合わせるもので、球対称性とデータデプスを用いて単変量ランクを多変量設定に一般化する。
• 距離共分散の退化U統計量構造と中心外向きランクの組合せ的性質を活用し、極限的帰無分布を導出する。
• 二重および複数インデックスを持つパーミュテーション統計量に関する、新規の組合せ的非中心極限定理を用いて導出する。
• 検定統計量は中心化されたランクに基づく距離から構成され、単調変換に対して不変であり、帰無仮説下で分布フリーであることを保証する。
• 有意水準α=0.1, 0.05, 0.01における、次元(p,q)が(1,1)から(10,10)までのすべての組み合わせについて、数値的に臨界値を推定し、直接実装を可能にする。
• 導出した漸近的帰無分布に依存することでパーミュテーションを回避し、中程度のサンプルサイズでも正確であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーミュテーションを必要とせず、分布フリーかつ一貫性を持つ多変量独立性検定を構築することは可能か？
• RQ2 中心外向きランク・サインはどのように多変量設定に拡張され、分布フリーな検定を可能にするか？
• RQ3 中心外向きランクを用いた距離共分散ベースの検定の極限的帰無分布は、高次元設定においてどのようなものか？
• RQ4 このようなパーミュテーション統計量の漸近理論を支えるために、新しい組合せ的非中心極限定理を確立できるか？
• RQ5 距離共分散と周辺ランク、またはランク付き距離共分散を用いた既存手法と比較して、提案手法の検出力はいかがなものか？

主な発見

• 本手法は、一般次元をもつ2つの多変量確率ベクトル間の独立性を検定する、初めての分布フリーかつ一貫性を持つ検定である。
• 検定統計量の極限的帰無分布は解析的に導出され、中程度のサンプルサイズでも正確であることが示された。これによりパーミュテーションの必要がなくなる。
• すべての(p,q)ペア（(1,1)から(10,10)まで）について、有意水準α=0.1, 0.05, 0.01における数値的臨界値が提供され、直接実装が可能である。
• シミュレーション研究において、n=216、p=q=7の高次元設定でも高い検出力を維持し、複雑な従属構造を検出する能力で競合手法を上回った。
• 例C.2では、距離共分散と周辺ランクを用いた手法が最高の検出力を示したが、n≥216のとき、本手法も競争力があり、高い検出力を示した。
• 本手法は次元への感受性を示し、特にサンプルサイズが十分にある場合、次元が増加するにつれて検出力が顕著に向上した。