[論文レビュー] Distribution-free consistent independence tests via Hallin's multivariate rank

Hongjian Shi, Mathias Drton+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、距離共分散とハリンの多次元ランクを組み合わせることで、任意の次元の2つの確率的ベクトル間の独立性を検定する、初めての分布フリーで一致する検定を提案する。距離共分散の退化したU統計量構造とハリンのランクの組み合わせ的性質を活用し、中程度の標本サイズでもパーミュテーションを用いず、正確な推論が可能な漸近的帰無分布を導出する。

ABSTRACT

This paper investigates the problem of testing independence of two random vectors of general dimensions. For this, we give for the first time a distribution-free consistent test. Our approach combines distance covariance with a new multivariate rank statistic recently introduced by Hallin (2017). In technical terms, the proposed test is consistent and distribution-free in the family of multivariate distributions with nonvanishing (Lebesgue) probability densities. Exploiting the (degenerate) U-statistic structure of the distance covariance and the combinatorial nature of Hallin's rank, we are able to derive the limiting null distribution of our test statistic. The resulting asymptotic approximation is accurate already for moderate sample sizes and makes the test implementable without requiring permutation. The limiting distribution is derived via a more general result that gives a new type of combinatorial non-central limit theorem for double- and multiple-indexed permutation statistics.

研究の動機と目的

• 一般次元の2つの確率的ベクトル間の独立性を検定する分布フリーで一貫性のある検定を開発すること。
• 特定の分布的仮定を必要とするか、計算コストの高いパーミュテーションに依存する既存の検定の限界を克服すること。
• 距離共分散とハリンの多次元ランクを組み合わせることで、一般条件下で一貫性と分布フリーの両方の性質を達成すること。
• 実用的な実装を可能にするために、検定統計量の取り扱いやすい漸近的帰無分布を導出すること。

提案手法

• この検定は、確率的ベクトル間の依存性を測る距離共分散と、多次元データに特化した非パラメトリックなランクベース手法であるハリンの多次元ランクを組み合わせる。
• 検定統計量は、距離共分散の退化したU統計量構造とハリンのランクの組み合わせ的性質を継承し、理論的解析が可能になる。
• 二重インデックスおよび多重インデックスのパーミュテーション統計量に対する新しい組み合わせ的非中心極限定理を導出し、帰無分布の極限を特徴付ける。
• ルベーグ確率密度が消えないという仮定の下で、帰無分布の極限を厳密に導出する。これにより、広範な多次元分布のクラスにわたる有効性が保証される。
• 得られた漸近的近似は、中程度の標本サイズに対しても正確であることが示され、パーミュテーションに基づくp値推定の必要がなくなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーミュテーションリサンプリングに依存せずに、2つの多次元確率的ベクトル間の独立性を検定する分布フリーで一貫性のある検定を構築できるか？
• RQ2 ハリンの多次元ランクをどのように距離共分散と効果的に組み合わせることで、有効な検定統計量を得られるか？
• RQ3 一般の多次元分布の下で、提案された検定統計量の極限的帰無分布は何か？
• RQ4 漸近的近似は有限標本、特に中程度の標本サイズにおいてどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 提案された検定は、消えないルベーグ密度を有する多次元分布の族において、一貫性と分布フリーの両方の性質を達成する最初のものである。
• 検定統計量の極限的帰無分布は、パーミュテーション統計量に対する新しい組み合わせ的非中心極限定理を用いて導出された。
• 帰無分布への漸近的近似は、中程度の標本サイズに対しても正確であるため、パーミュテーションを用いずとも直接的な推論が可能である。
• 検定は一般の従属構造下でも一貫性を保ち、元の分布にパラメトリックな仮定を必要としない。