[論文レビュー] Distribution-free Multiple Testing

Ery Arias-Castro, Shiyun Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対称な帰無分布を有する位置モデルにおいて、Benjamini-Hochberg (BH) 手順およびFoygel-BarberとCandèsの分布フリー手法の漸近的最適性を確立する。両手法は、正規分布平均モデルおよび一般化ガウス分布モデルにおいて、帰無分布が未知であっても、誤り発見率（FDR）と誤り非発見率（FNR）のトレードオフを最適化することが示され、これは対称性と尾の減衰性質に依存する。

ABSTRACT

We study a stylized multiple testing problem where the test statistics are independent and assumed to have the same distribution under their respective null hypotheses. We first show that, in the normal means model where the test statistics are normal Z-scores, the well-known method of (Benjamini and Hochberg, 1995) is optimal in some asymptotic sense. We then show that this is also the case of a recent distribution-free method proposed by Foygel-Barber and Candès (2015). The method is distribution-free in the sense that it is agnostic to the null distribution - it only requires that the null distribution be symmetric. We extend these optimality results to other location models with a base distribution having fast-decaying tails.

研究の動機と目的

• 帰無分布が既知である正規分布平均モデルにおけるBenjamini-Hochberg (BH) 手順の漸近的最適性を確立すること。
• BHの最適性結果を、帰無分布の対称性のみを仮定する分布フリー多重仮説検定手法へと拡張すること。
• Foygel-BarberとCandès（2015）の分布フリー手法が、尾の減衰が速い分布を有する位置モデルにおいてどのように動作するかを分析すること。
• BHおよび分布フリー手法が、誤り発見率および誤り非発見率の観点で、同一の第一階層の漸近的性能を達成することを示すこと。
• 特に対称性と尾の減衰性についての最小限の分布的仮定のもとで、多重仮説検定の理論的理解を統合すること。

提案手法

• 独立な検定統計量と原点に関して対称な共通の帰無分布を有するスタイリッシュな多重仮説検定フレームワークを用いる。
• リスクを誤り発見率（FDR）と誤り非発見率（FNR）の和として定義し、これをミニマックスリスク基準として扱う。
• 推計された生存関数に基づくデータに依存する閾値を用いたしきい値ベースの手続きを適用する。
• 尾の減衰率がパラメータγで特徴づけられる一般化ガウスモデルにおける漸近的解析を用い、正規性を超える一般化を可能にする。
• 推計された分布関数の推定誤差を制御するために、経験過程理論と集中不等式を用いる。
• 対称性と尾の減衰条件の下で、分布フリー手法とBHを比較し、両者とも同じ漸近的閾値および誤差率を達成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰無分布が既知である正規分布平均モデルにおいて、Benjamini-Hochberg手順は漸近的に最適であるか？
• RQ2 帰無分布の対称性のみを仮定する分布フリー多重仮説検定手法は、BHと同等の漸近的性能を達成できるか？
• RQ3 Foygel-BarberとCandès（2015）の分布フリー手法の性能は、重尾または一般化ガウス分布を有する帰無分布を持つモデルでどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 正規性を超える最小限の仮定のもとで、誤り発見率および誤り非発見率の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 同一のしきい値戦略は、帰無分布が既知または未知の両設定において、最適なリスク（FDR + FNR）を達成できるか？

主な発見

• Benjamini-Hochberg手順は、正規分布平均モデルにおいて第一階層の漸近的最適性を有し、n → ∞ において最小の可能なリスク（FDR + FNR）を達成する。
• Foygel-BarberとCandès（2015）の分布フリー手法は、帰無分布の対称性のみを仮定するが、正規モデルにおいてBHと同一の漸近的性能を達成する。
• 尾の減衰率γ > 1の一般化ガウスモデルにおいて、適切な信号強度およびスパarsity条件の下で、BHおよび分布フリー手法の両方がFDRおよびFNRを0に収束させる。
• 分布フリー手法で用いられるしきい値τは、確率1に近づいてτ ≤ t*を満たす。ここでt*はΨ(t*) ∼ n^{-r*}（r* ∈ (β, r)）を満たすように選ばれる。これにより、帰無分布からの十分な分離が保証される。
• 分布フリー手法の誤り非発見率は確率的に0に収束し、BHと同様の条件下で真の信号を高パワーで検出可能であることを示す。
• これらの結果は、帰無分布の対称性と尾の速やかな減衰性という最小限の仮定のもとで成り立つため、帰無分布の誤指定に対してもロバストである。