[論文レビュー] Distribution of outbreak sizes for SIR disease in finite populations

Joel C. Miller|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Plant Virus Research Studies参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限集団におけるSIR疾患の最終的流行規模分布を効率的に計算する手法を導出している。この手法は、発生数分布の確率母関数（PGF）に基づく下三角行列系に依存している。主な貢献は、異なる分布が同じ基本再生産数を示す場合の同定可能性の課題にもかかわらず、観察された流行規模から感染パラメータを推定可能な計算的に扱いやすいフレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

We consider the spread of a Susceptible-Infected-Recovered (SIR) disease through finite populations and derive an expression for the final size distribution. Our derivation allows arbitrary distributions of the number of transmissions caused by an infected individual. We show how this calculation can be used to infer parameters of the infectious disease through observations in multiple small populations. The inference suffers from some identifiability difficulties, and it requires many observations to distinguish between parameter combinations that correspond to the same reproductive number.

研究の動機と目的

• 有限集団におけるSIRダイナミクスと任意の感染伝播分布を想定した場合の、最終的流行規模分布の正確な解析的表現を導出すること。
• 小集団における観察された流行規模から発生数分布のパラメータを推定可能にする仕組みを提供すること。
• 複数の分布が同じ基本再生産数 $\mathcal{R}_0$ を与える場合の、感染パラメータ推定における同定可能性の問題を扱うこと。
• 複数の導入および世代別感染確率を含めるためにフレームワークを拡張すること。
• 真の発生数分布の形状が誤って指定された場合でも、$\mathcal{R}_0$ が信頼性を持って推定可能であることを示すこと。

提案手法

• 発生数分布のPGF $\mu(x)$ に依存する下三角行列 $\mathsf{C}$ を用いた線形方程式系 $\mathsf{C}\vec{q} = \vec{1}$ として、流行規模分布を定式化する。
• 再帰的計算を効率化するための係数 $c_{k,M} = \left[\mu\left(\frac{M-1}{N-1}\right)\right]^{-k} \prod_{j=1}^{k-1} \frac{M-j}{N-j}$ を定義する。
• SIRダイナミクスとポアソン型の出次数を持つランダム有向多重グラフとの等価性を用いて、問題をグラフ理論的枠組みで定式化する。
• 外部感染を組み込むために修正されたPGF $\chi(x)$ を導入し、分母に $\chi(M/N)$ を含めるように係数の式を調整する。
• 感受性者および感染者数を条件とする $[\mu(x)]^{i_g}$ の高階微分を用いて、世代別感染確率を導出する。
• シミュレートされた流行にフレームワークを適用し、推定精度を検証するとともに、パラメータの同定可能性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限SIR集団における最終的流行規模分布は、任意の発生数分布に対して正確に計算可能か？
• RQ2 小集団における観察された流行規模から、感染パラメータはどの程度正確に推定可能か？
• RQ3 同じ $\mathcal{R}_0$ を持つ異なる発生数分布が、同一の流行規模分布を生じる可能性はどの程度か？
• RQ4 最終規模データのみではなく、複数の世代を観察することで、パラメータ推定はどの程度改善されるか？
• RQ5 最終規模データから感染パラメータを推定する際、均一な感受性を仮定するという制限は何か？

主な発見

• 最終的流行規模分布は、下三角行列系 $\mathsf{C}\vec{q} = \vec{1}$ を用いて効率的に計算可能であり、数値的解法が高速に実行可能である。
• 係数 $c_{k,M}$ は再帰的に計算可能であり、直接的な行列逆行列計算に比べて計算コストを著しく削減できる。
• 同定可能性の問題が存在するが、真の発生数分布の形状が誤って指定された場合でも、$\mathcal{R}_0$ は流行規模データから正確に推定可能である。
• 過分散伝播は、小集団では疫病の確率精度が低いことから検出が困難であり、多くの観察が必要となる。
• 感受性の不均一性は、均一な感受性を仮定した場合に推定にバイアスを生じさせる。これは、最終規模に与える影響が疫病発生確率よりも顕著であるためである。
• 大規模集団の極限において、モデルは $\mathcal{R}_0$ の予測に対して依然として頑健であり、最終規模は $\mathcal{R}_0$ のみに依存する。