[論文レビュー] Distribution of Random Variables on the Symmetric Group

Vytas Zacharovas|ArXiv.org|Jan 13, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称群 $S_n$ 及びその部分集合 $S_n^{(k)}$ 上のランダムな置換の位数の対数の分布に対する鋭い収束速度の見積もりを確立し、Erdős–Turánの法則を拡張する。解析的および確率的手段、特にバーノイ和法とタウバー型定理を用いて、最適な収束速度が $O(1/\sqrt{\log n})$ であることを証明し、重み付き測度の下での乗法的関数に対する明示的な誤差項を導出する。

ABSTRACT

The well known Erdos-Turan law states that the logarithm of an order of a random permutation is asymptotically normally distributed. The aim of this work is to estimate convergence rate in this theorem and also to prove analogous result for distribution of the logarithm of an order of a random permutation on a certain class of subsets of the symmetric group. We also study the asymptotic behavior of the mean values of multiplicative functions on the symmetric group and the results we obtain are of independent interest besides their application to the investigation of the remainder term in the Erdos-Turan law. We also study a related problem of distribution of the degree of a splitting field of a random polynomial and obtain sharp estimates for its convergence rate to normal law. In research we apply both probabilistic and analytic methods. Some analytic methods used here have their origins in the probabilistic number theory, and some have their roots in the theory of summation of divergent series. One of the approaches we use is to apply Tauberian type estimates for Voronoi summability of divergent series to analyze the generating functions of the mean values of multiplicative functions.

研究の動機と目的

• ランダム置換の巡回数の分布に関するErdős–Turán法則における剰余項の見積もりを改善すること。
• 対称群の部分集合 $S_n^{(k)}$ 上でのランダム置換の位数の対数に関する類似の収束速度結果を確立すること。
• $S_n$ 及び $S_n^{(k)}$ 上の乗法的関数の平均値に対する新たな見積もりを導出し、それ自身が独立に興味深いものであることを示すこと。
• ランダム多項式の分解体の次数の分布が正規分布に収束する速度を分析すること。
• 発散級数のバーノイ和法に対するタウバー型定理を構築し、主な収束結果を支援すること。

提案手法

• 乗法的関数 $d(\sigma)$ を通じて定義される $S_n$ 上の重み付き確率測度 $\nu_{n,d}$ を用い、一様分布やEwens測度を一般化する。
• 重み付き乗法的関数の平均の収束を分析するために、バーノイ和法とタウバー型定理を適用する。
• 母関数と特異点解析を用いて、$S_n$ 上の乗法的関数 $f$ の平均値 $M_n^d(f)$ を推定する。
• 巡回型分解と $|\hat{f}(k)-1|$ の有界性を用いて、$|M_n^d(f) - \exp(\sum_{k=1}^n d_k(\hat{f}(k)-1)/k)|$ の誤差項を導出する。
• Berry–Esséen定理と集中不等式を用いて、$\log O_n(\sigma)$ 及び $\log P_n(\sigma)$ の裾確率を抑え込む。
• 巡回指数の構造と漸近展開を用いて、$S_n^{(k)}$ 上での $\log O_n(\sigma)$ の分布を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S_n$ 上での $\log O_n(\sigma)$ の分布が正規分布に収束する際の最適な収束速度は何か？
• RQ2 重み付き測度 $\nu_{n,d}$ の下で、Erdős–Turán法則の剰余項はどのように振る舞うか？
• RQ3 $S_n^{(k)}$ 上のランダム置換の位数の対数 $\log P_n(\sigma)$ の分布の収束速度は何か？
• RQ4 一般の $d$-重み付き測度の下で、$S_n$ 上の乗法的関数はどのように振る舞い、その平均値の見積もりは何か？
• RQ5 本研究の文脈において、収束速度の結果を支援するためのバーノイ和法に対するタウバー型定理を確立できるか？

主な発見

• $S_n$ 上での $\log O_n(\sigma)$ の分布の収束速度は $O(1/\sqrt{\log n})$ であり、これは最適である。
• $S_n^{(k)}$ 上でも、$\log O_n(\sigma)$ の正規分布への収束速度は $O(1/\sqrt{\log n})$ であり、明示的な誤差項が得られる。
• $\hat{f}(j)$ 及び $d_j$ に関する条件下で、Erdős–Turán法則の剰余項が $O(\mu_n^{c_1} + n^{-c_2})$ に改善される。
• ランダム多項式の分解体の次数の分布は、正規分布に $O(1/\sqrt{\log n})$ の速度で収束する。
• 発散級数のバーノイ和法に対する新しいタウバー型定理が確立され、$S_n$ 上の乗法的関数の収束解析を支援する。
• 明示的な誤差項が導出される：$\Delta_n \leq c\left(\sum_{j=0}^n p_j\right)^{-1}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|p_{n-k} + \frac{1}{n^{d^-}}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|k^{d^--1} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|\right)$ であり、$d^-$ 及び $d^+$ に依存する関係が明確に示される。