[論文レビュー] Distribution of shifted discrete random walk generated by distinct random variables and applications in ruin theory

Simonas Gervė, Andrius Grigutis|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2022

Probability and Risk Models参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定期的に変化する請求分布と定常保険料収入を有する多シーズン離散時間リスクモデルにおける最終的生存確率を計算するための新しい解析的フレームワークを開発する。生成関数と特性多項式の根から導かれる連立一次方程式を解くことで、初期の生存確率を計算し、閉形式の生成関数を導出し、任意の初期純資産水準における破産確率および生存確率の正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we set up the distribution function $$ φ(u)=\mathbb{P}\left(\sup_{n\geqslant 1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-κ ight)

研究の動機と目的

• 非同一かつ周期的に分布する請求額と定常保険料率を有する離散時間リスクモデルに関する先行研究を一般化すること。
• 異なる非i.i.d.増分を有するシフトされたランダムウォークの上限分布を導出すること。
• 定期的変動する請求分布と定常保険料率 κ を有する多シーズンリスクモデルにおいて、連立一次方程式を解くことで初期値 φ(0), ..., φ(κN−1) を求め、最終的生存確率 φ(u) を計算すること。
• 任意の初期純資産 u に対して生存確率を効率的に計算可能な、φ(u+1) の閉形式生成関数を提供すること。
• Poisson分布およびその他の離散分布を用いた計算例を通じて、κ および N のさまざまな設定下での手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 生存確率 φ(u) を P(supₙ≥₁ Σᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ−κ) < u) として定式化し、周期的請求分布と定常保険料率 κ を有するリスク過程をモデル化する。
• 生成関数と s^κN = G_{S_N}(s) の根に基づく係数を用いて、初期値 φ(0), ..., φ(κN−1) を得る連立一次方程式 (16) を導出する。
• φ(u+1) に対する生成関数 Ξ(s) = uᵀv / (e^{a_{10}(s−1)} − s^{50}) を構築する。ここで u および v は初期確率およびPoisson重み付き和から導かれるベクトルである。
• M_j および G_j を含む行列系を用いて m_i^{(j)} の係数を解き、φ(u) = Σ_{i=0}^{u} m_i^{(1)} (u ≤ 5) を用いて累積的 φ(u) 値を計算する。
• 再帰的関係式 m^{(j)}_n = (m^{(j−1)}_{n−5} − Σ 項) / x_0^{(j−1)} (n ≥ 5) を用いて、初期範囲を超える φ(u) を拡張する。
• 最終式を用いて、合計請求額 ≤49 であるすべての請求経路と対応する生存確率 φ(50−Σi_j) の結合確率和を用いて φ(0) を計算し、システムを閉じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定期的に変化する請求分布と定常保険料率を有する離散時間リスクモデルにおいて、最終的生存確率 φ(u) はどのように計算可能か？
• RQ2 このようなモデルにおける初期値 φ(0), ..., φ(κN−1) を決定する連立方程式系の構造は何か？
• RQ3 任意の κ および N を有する多シーズンリスクモデルにおいて、φ(u+1) の閉形式生成関数を導出可能か？
• RQ4 特性方程式 s^κN = G_{S_N}(s) の根は、生存確率システムの解にどのように影響を与えるか？
• RQ5 パラメータが変化するPoisson分布などの現実的請求分布に適用した場合、この手法の計算的正確性およびスケーラビリティはいかがなものか？

主な発見

• κ=5, N=10 の場合、初期係数 m_i^{(1)} を用いて、φ(1)=0.1821, φ(2)=0.2425, φ(3)=0.3009, φ(4)=0.3554, φ(5)=0.4058 が計算された。
• T=10, u=20 の有限期間生存確率は 0.990 であるが、最終的生存確率 φ(20) は 0.826 にまで低下しており、高い初期純資産水準下での長期的生存確率の著しい低下が示された。
• |s|<1 および e^{a_{10}(s−1)} ≠ s^{50} の条件下で、生成関数 Ξ(s) が明示的に導出された。u および v ベクトルは初期確率およびPoisson重み付き和から構築された。
• 合計請求額 ≤49 であるすべての請求経路と対応する生存確率 φ(50−Σi_j) の結合確率和を用いて、φ(0) の計算に成功した。
• κ=2, N=2 の場合、φ(1)=0.1821 であり、φ(2)=0.2425, φ(3)=0.3009, φ(4)=0.3554, φ(5)=0.4058 が得られ、パrameterセット間で一貫性が確認された。
• 表5の計算結果は、T が増加するにつれて生存確率が 1 に収束すること、および u が増加するにつれて最終的生存確率が安定することを確認しており、κ=5, N=10 の場合、u=30 における φ(∞)≈0.923 となった。