[論文レビュー] Distributional property testing in a quantum world

András Gilyén, Tongyang Li|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、量子特異値変換（QSVT）を用いた一般化された量子アルゴリズムフレームワークを提示し、古典的および量子的分布の近接性、独立性、エントロピーの分布的性質テストにおいて顕著な高速化を達成する。量子アルゴリズムが分布へのコherentアクセスを持つ場合、ℓ2-近接性テストに O(1/(νϵ) log³(1/νϵ)) クエリでテスト可能であり、古典的手法を上回り、コherentアクセスモデル下での密度作用素テストにおける最初の量子的高速化を提供する。

ABSTRACT

A fundamental problem in statistics and learning theory is to test properties of distributions. We show that quantum computers can solve such problems with significant speed-ups. In particular, we give fast quantum algorithms for testing closeness between unknown distributions, testing independence between two distributions, and estimating the Shannon / von Neumann entropy of distributions. The distributions can be either classical or quantum, however our quantum algorithms require coherent quantum access to a process preparing the samples. Our results build on the recent technique of quantum singular value transformation, combined with more standard tricks such as divide-and-conquer. The presented approach is a natural fit for distributional property testing both in the classical and the quantum case, demonstrating the first speed-ups for testing properties of density operators that can be accessed coherently rather than only via sampling; for classical distributions our algorithms significantly improve the precision dependence of some earlier results.

研究の動機と目的

• コherentな量子アクセスを活用した、分布的性質テストの一般化された量子的手法の開発。
• ℓα-近接性テスト、独立性テスト、エントロピー推定といった基本的問題における量子的高速化の実証。
• サンプリングではなく、純化（purified）クエリアクセスを用いた密度作用素の性質テストのための最初の量子アルゴリズムの確立。
• コherentアクセスを有する量子アルゴリズムを活用することで、古典的分布テストにおける精度依存性の改善。
• QSVTが古典的および量子的両設定における分布的問題に自然に適合することを示し、量子アルゴリズムと統計的性質テストを橋渡しする。

提案手法

• 著者らは、密度作用素の特異値を操作し、分布をサンプリングするために、量子特異値変換（QSVT）をコア技術として用いる。
• 密度行列のブロック符号化を構築し、多項式変換を適用することで、アモニチュード推定を用いて ∥ρ−σ∥₂² などの量を推定する。
• ℓ2-近接性テストのため、確率質量の二進区間における分割統治法を用いて問題を分解し、各 x を p(x)+q(x) ∈(2−k−1, 2−k+1) を満たす k でラベル付けする。
• M = O(√n/(νϵ)) 回の呼び出しを用いて、アモニチュード推定によりターゲット状態を測定する確率を推定し、繰り返しによる成功確率の強化を実現する。
• ユニタリ Uρ を介した純化量子クエリアクセスを用いることで、分布を表す量子状態のコherentな準備を可能にする。
• SWAPテストとアモニチュード推定を組み合わせ、Tr[ρσ]、Tr[ρ²]、Tr[σ²] を推定し、∥ρ−σ∥₂² の推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子コンピュータは、コherentアクセスを用いて、古典的および量子的分布の性質を体系的かつより効率的にテストできるか？
• RQ2 コherent量子アクセス下での2つの分布間のℓ2-近接性テストにおけるクエリ複雑度は何か？
• RQ3 量子アルゴリズムは、量子分布的テスト設定下で独立性のテストおよびフォン・ノイマンエントロピーの推定において、明示的な高速化を達成できるか？
• RQ4 ℓ2-近接性テストにおける上界 O(1/(νϵ) log³(1/νϵ)) と一致する下界は存在するか？
• RQ5 最適性を証明するための、純化量子クエリアクセスモデルに適した下界技術は何か？

主な発見

• コherentアクセスを有する古典的分布間のロバスト ℓ2-近接性テストにおいて、O(1/(νϵ) log³(1/νϵ) log log(1/νϵ)) のクエリ複雑度を達成。
• 量子密度作用素のロバスト ℓ2-近接性テストでは、クエリ複雑度が O(min(√n/ϵ, 1/ϵ²)/ν) であり、コherentアクセス下での既知の最良の境界と一致。
• コherentクエリアクセス（サンプリングではなく）を用いた密度作用素の性質テストにおいて、量子アルゴリズムによる最初の高速化を実現。
• QSVT とアモニチュード推定を用いて、精度 νϵ² で ∥ρ−σ∥₂² を推定し、ロバストテストを可能にする。
• 特にロバストテストの設定において、従来の古典的アルゴリズムと比較して精度依存性を改善。
• 最も強い純粋状態準備モデル下で ℓ2-近接性テストに対して Ω(1/ϵ) の下界が確立され、上界の近似的最適性が示された。