[論文レビュー] Distributional Uncertainty Propagation via Optimal Transport

Liviu Aolaritei, Nicolas Lanzetti+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2022

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最適輸送（OT）の不確実性集合を用いた分布的不確実性伝播（DUP）を導入し、ロバストでない不確実性モデルと確率的不確実性モデルを一般化しながら、線形および非線形力学系における解析的取り扱いが可能な伝播を可能にする。主な貢献は、OT不確実性集合が決定論的および確率的写像を通じて正確またはタイトに上界が与えられることであり、分布シフトやブラックスワン事象下での未来の状態不確実性の閉形式特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

This paper addresses the limitations of standard uncertainty models, e.g., robust (norm-bounded) and stochastic (one fixed distribution, e.g., Gaussian), and proposes to model uncertainty via Optimal Transport (OT) ambiguity sets. These constitute a very rich uncertainty model, which enjoys many desirable geometrical, statistical, and computational properties, and which: (1) naturally generalizes both robust and stochastic models, and (2) captures many additional real-world uncertainty phenomena (e.g., black swan events). Our contributions show that OT ambiguity sets are also analytically tractable: they propagate easily and intuitively through linear and nonlinear (possibly corrupted by noise) transformations, and the result of the propagation is again an OT ambiguity set or can be tightly upper bounded by an OT ambiguity set. In the context of dynamical systems, our results allow us to consider multiple sources of uncertainty (e.g., initial condition, additive noise, multiplicative noise) and to capture in closed-form, via an OT ambiguity set, the resulting uncertainty in the state at any future time. Our results are actionable, interpretable, and readily employable in a great variety of computationally tractable control and estimation formulations. To highlight this, we study three applications in trajectory planning, consensus algorithms, and least squares estimation. We conclude the paper with a list of exciting open problems enabled by our results.

研究の動機と目的

• ブラックスワン事象や分布シフトといった現実世界の現象を捉えることができない、標準的なロバスト（ノルムバウンデッド）および確率的（固定分布）不確実性モデルの限界を解決する。
• ロバストおよび確率的フレームワークを一般化しつつ、解析的および計算的取り扱いの容易さを保った、統一的かつ表現力豊かな不確実性モデルの構築。
• 加法的および乗法的ノイズ下での線形および非線形力学系を通じて、分布的不確実性の正確またはタイトな上界伝播を可能にする。
• 時間経過に伴う状態分布の不確実性の進化を特徴付けることで、分布ロバスト制御および推定の基盤を提供する。

提案手法

• 参照分布を中心とするウォッサーシュタイン球としての最適輸送（OT）不確実性集合を用いて不確実性をモデル化し、豊かで幾何学的に意味のある不確実性表現を可能にする。
• 線形写像 $ f(x) = Ax $ を含む決定論的写像 $ f(x) $ を通じたOT不確実性集合の伝播を、プッシュフォワード作用素およびOT距離の構造を用いて行う。
• 点集合和 $ f(x) = x + y $ および積 $ f(x) = x \cdot y $ を含む確率的写像に伝播を拡張し、$ y $ を不確実な確率的ベクトルとする。
• 加法的および乗法的ノイズを伴う線形時不変（LTI）システムにフレームワークを適用し、状態分布における不確実性集合の伝播に対して閉形式表現を導出する。
• 単射写像下での非線形力学系に結果を特殊化し、反復プッシュフォワードおよび逆写像を用いて不確実性伝播を特徴付ける。
• 制御および推定における応用として、軌道計画、一様化アルゴリズム、最小二乗推定の3つの応用を提示し、制御および推定分野における実用性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OT不確実性集合は、ロバストおよび確率的モデルを一般化し、レアイベントを捉えることができる分布的不確実性をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 力学系における決定論的および確率的変換を通じたOT不確実性集合伝播の解析的性質は何か？
• RQ3 OTベースの不確実性伝播は、複数の不確実性源下での線形および非線形システムにおける状態分布に対して閉形式表現を導出できるか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、より高い取り扱いやすさと解釈可能性を備えた分布ロバスト制御および推定アルゴリズムの設計にどのように応用できるか？

主な発見

• OT不確実性集合はロバストおよび確率的モデルを一般化し、ブラックスワン事象や分布シフトを自然に捉える。
• 加法的および乗法的ノイズを伴う線形系では、任意の未来時刻における状態の不確実性が、命題18で示されるようにOT不確実性集合によって正確に特徴付けられる。
• 線形時不変系の場合、推定子 $ \hat{x} $ における分布的不確実性は、$ \hat{x} - x_0 \sim \mathbb{Q} \in \mathbb{B}_{m\varepsilon}^{\|\cdot\|_{2}^{2} \circ A}}(A^{\dagger}_{\#} \widehat{\mathbb{P}}^{\otimes m}) $ によって完全に捉えられ、非ガウス分布的ロバストな特徴付けが得られる。
• 単射ダイナミクスを伴う非線形系では、時刻 $ t $ における状態分布は $ x_t \sim \mathbb{Q}_t \in \mathbb{B}_{\varepsilon}^{c \circ (f^{-t} \times f^{-t})}(f^t_{\#} \mathbb{P}_0) $ によって特徴付けられ、正確な不確実性伝播が可能になる。
• 本フレームワークは、制御および推定分野における計算的に取り扱いやすく、解釈可能で実行可能である定式化を可能にし、最適化の次元が制御ホライゾンに依存しない。
• 結果として、OT不確実性集合を確率測度の空間に埋め込むことで、分布ロバスト制御、フィルタリング、安定性解析の新しい道筋が開かれる。