[論文レビュー] Distributionally Robust Chance-Constrained Programs with Right-Hand Side Uncertainty under Wasserstein Ambiguity

Nam Ho-Nguyen, Fatma Kılınç-Karzan+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 35被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、Wassersteinのあいまいさ集合における右辺の不確実性を伴う分布ロバストなチャンス制約型プログラム（DR-CCP）に対して、改良された混合整数プログラミング（MIP）定式化と2種類の有効な不等式を提案する。名目的なチャンス制約型プログラム、ミキシング集合、ロバスト0-1プログラミングとの関係を活用することで、連続緩和の下界を著しく強化し、最適解の計算時間を数時間から数秒に短縮し、数千のシナリオを含む大規模問題の解法を可能にする。

ABSTRACT

We consider exact deterministic mixed-integer programming (MIP) reformulations of distributionally robust chance-constrained programs (DR-CCP) with random right-hand sides over Wasserstein ambiguity sets. The existing MIP formulations are known to have weak continuous relaxation bounds, and, consequently, for hard instances with small radius, or with large problem sizes, the branch-and-bound based solution processes suffer from large optimality gaps even after hours of computation time. This significantly hinders the practical application of the DR-CCP paradigm. Motivated by these challenges, we conduct a polyhedral study to strengthen these formulations. We reveal several hidden connections between DR-CCP and its nominal counterpart (the sample average approximation), mixing sets, and robust 0-1 programming. By exploiting these connections in combination, we provide an improved formulation and two classes of valid inequalities for DR-CCP. We test the impact of our results on a stochastic transportation problem numerically. Our experiments demonstrate the effectiveness of our approach; in particular our improved formulation and proposed valid inequalities reduce the overall solution times remarkably. Moreover, this allows us to significantly scale up the problem sizes that can be handled in such DR-CCP formulations by reducing the solution times from hours to seconds.

研究の動機と目的

• Wassersteinのあいまいさ集合における右辺の不確実性を伴うDR-CCPの既存MIP定式化における連続緩和の下界が弱いために発生する大きなオプティマルティー・ギャップと収束の遅さを是正すること。
• 分枝限定法ソルバを用いる際、特に小さなWasserstein半径や大規模問題に対して性能が著しく劣る現行定式化の実用的制限を克服すること。
• 名目的なチャンス制約型プログラム、ミキシング集合、ロバスト0-1プログラミングとの隠れた構造的関係を同定することで、MIP定式化を強化すること。
• 分布ロバスト制約のCVaR解釈を活用して、よりコンactなMIP定式化を構築し、big-M制約を排除すること。
• 多面体解析から導出された2種類の新しい有効不等式（ミキシング不等式とパス不等式）を提案し、定式化をさらに緊密化すること。

提案手法

• Wassersteinのあいまいさ集合における右辺の不確実性を伴うDR-CCPを双対表現を用いて再定式化し、決定的MIP定式化を可能にする。
• DR-CCPと名目的なサンプル平均近似（SAA）定式化との隠れた関係を同定し、SAA領域に対して有効なミキシング不等式を導出可能にする。
• 分位数強化技術をDR-CCP設定に適応し、再定式化におけるbig-M制約を排除し、数値的安定性を向上させる。
• 分布ロバスト制約のCVaR解釈を活用して、制約数を減らしたよりコンactなMIP定式化を導出する。
• ロバスト0-1プログラミングに類似した混合整数部分構造を特定し、この関係に基づく第二の有効不等式クラス（パス不等式）を導出する。
• ミキシング不等式とパス不等式の両方を分離する分枝カット法を実装し、定式化をさらに緊密化し、収束を加速する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wassersteinのあいまいさ集合における右辺の不確実性を伴うDR-CCPの既存MIP定式化の連続緩和下界を、どのように著しく強化できるか？
• RQ2 DR-CCP、名目的なチャンス制約型プログラム、ミキシング集合、ロバスト0-1プログラミングの間には、定式化改善に利用可能な隠れた構造的関係が存在するか？
• RQ3 分布ロバスト制約のCVaR解釈を活用して、よりコンactかつ効率的なMIP再定式化を構築できるか？
• RQ4 ミキシング不等式とパス不等式は、Wassersteinのあいまいさ集合を伴うDR-CCPにおいて、どの程度オプティマルティー・ギャップと計算時間を短縮するか？
• RQ5 改善された定式化と有効不等式は、数千のシナリオを含む大規模問題にスケーリング可能であり、計算時間を数時間から数秒に短縮できるか？

主な発見

• 改良されたMIP定式化により、最大3,000のシナリオを含むインスタンスについて、計算時間を数時間から1分未塔に短縮し、スケーラビリティを著しく向上させた。
• F=10、D=100、N=3,000のインスタンスでは、改良定式化はすべての問題を数秒以内に最適解で解けるが、ベースライン定式化は1時間以内に妥当解が得られない。
• ミキシング不等式とパス不等式の併用により、オプティマルティー・ギャップがさらに縮小：N=3,000、θ=θ₁の場合、ギャップは0.78%（改良）から0.48%（ミキシング＋パス）に低下。
• 改良定式化のルートノードにおけるオプティマルティー・ギャップは平均で最大0.8%であり、θ≥θ₂の場合、ルートノードで0.01%のギャップ閾値に到達しており、強い初期下界を示している。
• 提案手法は、特に小さなWasserstein半径において顕著に効果を発揮する。この場合、名目のSAA領域がロバスト領域をよりよく近似するため、ミキシング不等式の影響が強くなる。
• 計算実験により、分枝限定法プロセスはギャップの縮小にほとんど寄与しないことが確認され、強い初期定式化の重要性が浮き彫りになった。