[論文レビュー] Distributionally Robust Game Theory

Nicolas Loizou|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Economic theories and models参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、配当の不確実性を可能性のある確率分布のあいまいさ集合によってモデル化することにより、ナッシュ、ベイジアン、ロバストゲームを一般化する新しい枠組み、分布ロバストゲーム理論を導入する。均衡は、多変数線形方程式系の解の成分ごとの射影として計算可能であることが示され、条件付きリスク価値（CVaR）を用いることで、異なるリスク態度を有する不完全情報ゲームを統一的に取り扱える。

ABSTRACT

The classical, complete-information two-player games assume that the problem data (in particular the payoff matrix) is known exactly by both players. In a now famous result, Nash has shown that any such game has an equilibrium in mixed strategies. This result was later extended to a class of incomplete-information two-player games by Harsanyi, who assumed that the payoff matrix is not known exactly but rather represents a random variable that is governed by a probability distribution known to both players. In 2006, Bertsimas and Aghassi proposed a new class of distribution-free two-player games where the payoff matrix is only known to belong to a given uncertainty set. This model relaxes the distributional assumptions of Harsanyi's Bayesian games, and it gives rise to an alternative distribution-free equilibrium concept. In this thesis we present a new model of incomplete information games without private information in which the players use a distributionally robust optimization approach to cope with the payoff uncertainty. With some specific restrictions, we show that our "Distributionally Robust Game" constitutes a true generalization of the three aforementioned finite games (Nash games, Bayesian Games and Robust Games). Subsequently, we prove that the set of equilibria of an arbitrary distributionally robust game with specified ambiguity set can be computed as the component-wise projection of the solution set of a multi-linear system of equations and inequalities. Finally, we demonstrate the applicability of our new model of games and highlight its importance.

研究の動機と目的

• 古典的なゲーム理論的モデル（ナッシュ、ベイジアン、ロバストゲーム）を、統一的な分布ロバストフレームワークの下に統合すること。
• ベイジアンゲームで想定される既知の分布や、ロバストゲームで固定される最悪ケースシナリオとは異なり、妥当な分布のあいまいさ集合を用いて報酬の不確実性をモデル化すること。
• リスクレベルεでパラメータ化された条件付きリスク価値（CVaR）を用いて、プレイヤー間の異なったリスク態度を組み込むことにより、実用的応用においてより現実的なモデルを実現すること。
• 多変数線形方程式系および不等式系を用いた数学的構造を通じて、このようなゲームにおける均衡を体系的に同定する計算手法を確立すること。
• 具体的な例（フリーライダー・ゲームとインスペクション・ゲーム）を通じて、モデルの適用可能性を示すこと。

提案手法

• プレイヤーが報酬分布のあいまいさ集合上で最悪のCVaRを最小化する分布ロバストゲームモデルを定式化する。
• 既知のモーメント情報（例：平均とサポート）を用いてあいまいさ集合を定義し、集合内のすべての分布が観測データと整合することを保証する。
• 均衡の集合を特徴付けるために、多変数線形方程式系および不等式系を用いる。均衡は、解集合の成分ごとの射影として得られる。
• CVaRリスク測度を用いることで、プレイヤーが異なるリスク回避度を表現でき、リスクレベルεでパrameter化される。
• 数値アルゴリズムを用いて均衡を近似的に計算し、テストケースにおける収束性と性能を評価する。
• パラメータの不確実性だけでなく、分布そのものの不確実性を許容するように、ロバストゲームフレームワークを拡張することで、より豊かなあいまいさのモデル化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な分布ロバスト最適化アプローチの下で、ナッシュ、ベイジアン、ロバストゲームを統一する単一のゲーム理論的枠組みが可能か？
• RQ2 CVaRでモデル化された異なるリスク態度が、報酬の不確実性を伴うゲームにおける均衡結果にどのように影響を与えるか？
• RQ3 分布ロバストゲームモデルが、古典的ゲーム理論的モデル（例：ナッシュゲームやベイジアンゲーム）に還元される条件は何か？
• RQ4 分布ロバストゲームにおける均衡の集合は、明確な数学的構造を用いて体系的に計算可能か？
• RQ5 あいまいさ集合のパラメータ（例：平均ベクトル、最大距離）の変更が、均衡の存在や報酬にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 分布ロバストゲームモデルは、ナッシュ、ベイジアン、ロバストゲームを一般化しており、いずれのゲームも提示されたフレームワークの特別なケースとして表現可能である。
• 分布ロバストゲームにおける均衡は、多変数線形方程式系および不等式系の解集合の成分ごとの射影として計算可能である。
• 特定のあいまいさ集合（例：一点のみのサポート）に対しては、モデルは完全情報の有限ゲームに還元され、古典的ナッシュゲームと整合的であることが確認された。
• 分布ロバストフリーライダー・ゲームでは、あいまいさ集合が制限されている場合（例：s=0）、異なるリスクレベルにおいても均衡と報酬が不変であることが示され、リスク態度の変化に対して強い性質を示した。
• 分布ロバストインスペクション・ゲームでは、リスクレベルにかかわらず均衡と報酬が不変であり、特定のあいまいさ集合構成下ではリスク志向が結果に影響しないことを示唆した。
• 数値実験では、一般の場合にリスクレベルεの変更が均衡と報酬に影響を与えることが確認され、非退化なあいまいさ下ではモデルがリスク志向に敏感であることが裏付けられた。