[論文レビュー] Distributionally Robust Optimization with Decision Dependent Ambiguity Sets

Fengqiao Luo, Sanjay Mehrotra|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、不確実性の分布が意思決定変数に依存する、意思決定依存型の不確実性をモデル化する分布ロバスト最適化フレームワークを提案する。双対性理論（線形、凸、またはラグランジュ）を活用することで、これらの複雑な問題を、グローバル最適化手法で解ける有限または半無限次元計画問題に再定式化する。これにより、モーメント、ワッサーシュタイン距離、φ-発散、およびコルモゴロフ＝スミルノフ検定に基づく不確実性集合を含む意思決定依存型のロバスト確率的最適化問題を解くことが可能になる。

ABSTRACT

We study decision dependent distributionally robust optimization models, where the ambiguity sets of probability distributions can depend on the decision variables. These models arise in situations with endogenous uncertainty. The developed framework includes two-stage decision dependent distributionally robust stochastic programming as a special case. Decision dependent generalizations of five types of ambiguity sets are considered. These sets are based on bounds on moments, Wasserstein metric, $ϕ$-divergence and Kolmogorov-Smirnov test. For the finite support case, we use linear, conic or Lagrangian duality to give reformulations of the models with a finite number of constraints. These reformulations allow solutions of such problems using global optimization techniques. Certain reformulations give rise to non-convex semi-infinite programs. Techniques from global optimization and semi-infinite programming can be used to solve these reformulations.

研究の動機と目的

• 意思決定に依存する不確実性分布をモデル化する最適化問題を扱い、現実世界のシステムにおける内生的不確実性を捉えること。
• 意思決定に依存しない不確実性集合にとどまらず、意思決定依存型の定式化を含む分布ロバスト最適化を拡張すること。
• 元の非凸的・半無限次元問題を、グローバル最適化手法で解ける形に変換する双対性に基づく再定式化を構築すること。
• モーメント制約、共分散制約、ワッサーシュタイン距離、φ-発散、およびコルモゴロフ＝スミルノフ検定に基づく5種類の異なる不確実性集合タイプに、本フレームワークの適用可能性を示すこと。
• 有限および連続サポートの場合の再定式化問題の理論的基盤とアルゴリズム的アプローチを提供すること。

提案手法

• 線形、凸、またはラグランジュ双対性を用いて、意思決定依存型の分布ロバスト最適化における内側のmax-min問題を再定式化する。
• 双対性を適用し、不確実性集合の制約を、サポートの種別に応じて等価な有限次元または半無限次元制約に変換する。
• 有限サポートの場合、双対性を用いて有限制約計画問題に再定式化する。連続サポートの場合、切断表面法に適した半無限次元計画問題を導出する。
• コンパクト性と連続性の下で収束が保証される、修正された交換法を応用した切断表面アルゴリズムを用いて、得られた半無限次元計画問題を解く。
• サポートを分割することで、モーメントに基づく不確侖性集合を再定式化し、シナリオ確率およびモーメントの上限に関する半無限次元制約を導出する。
• 鞍点アプローチと双対性を用いて、φ-発散およびコルモゴロフ＝スミルノフ検定に基づく不確実性集合を再定式化し、正則性条件の下で正確な再定式化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布ロバスト最適化を、不確実性集合が意思決定変数に依存する内生的不確実性をモデル化できるようにどのように拡張できるか。
• RQ2 モーメント制約、ワッサーシュタイン距離、φ-発散、およびコルモゴロフ＝スミルノフ統計量に基づく意思決定依存型不確実性集合に対して、どのような双対性に基づく再定式化が可能か。
• RQ3 得られた再定式化問題はグローバル最適化手法で解けるか。また、これらの再定式化の構造的性質は何か。
• RQ4 特に連続サポートの場合に、意思決定依存型の分布ロバスト最適化問題の計算複雑性と解法可能性はいかほどか。
• RQ5 連続不確実性集合から生じる半無限次元計画問題を解くために、切断表面アルゴリズムをどのように適合できるか。

主な発見

• 本稿では、意思決定依存型不確実性集合への分布ロバスト最適化の拡張に成功し、2段階確率的最適化問題における内生的不確実性のモデル化を可能にした。
• 有限サポートの場合、提案された再定式化により有限個の制約を持つ問題が得られ、グローバル最適化ソルバに適した形になる。
• モーメントに基づく不確実性集合の再定式化は、サポートの分割とシナリオ確率・モーメントの上限に関する半無限次元制約から成る。
• 双対性の使用により、内側のmax-min問題が正確に再定式化され、標準的な正則性条件下で最適性が保たれる。
• 連続サポートの場合、再定式化問題は半無限次元計画問題となり、コンパクト性と連続性の下で有限収束を保証する切断表面法により解ける。
• 本フレームワークは5種類の不確実性集合タイプで検証され、双対性に基づくアプローチの一般性と多様なロバスト最適化設定への適用可能性が示された。