[論文レビュー] Distributionally robust polynomial chance-constraints under mixture ambiguity sets

Jean B. Lasserre, Tillmann Weißer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 51被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、混合あいまい性集合を用いた多項式チャンス制約における分布的に頑健なアプローチを提案する。多項式最適化と半正定値計画法を用いて、実行可能集合の内部近似を構築する。主な貢献は、次数を増加させることでルベーグ測度において真の実行可能集合に漸近的に収束する多項式に基づく近似の系列を提供することであり、分布的不確実性下での頑健最適化において収束性と取り扱いやすさを保証する。

ABSTRACT

Given $X \\subset R^n$, $\\varepsilon \\in (0,1)$, a parametrized family of probability distributions $(\\mu\\_{a})\\_{a\\in A}$ on $\\Omega\\subset R^p$, we consider the feasible set $X^*\\_\\varepsilon\\subset X$ associated with the {\\em distributionally robust} chance-constraint \\[X^*\\_\\varepsilon\\,=\\,\\{x \\in X :\\:{\ m Prob}\\_\\mu[f(x,\\omega)\\,>\\,0]> 1-\\varepsilon,\\,\\forall\\mu\\in M\\_a\\},\\]where $M\\_a$ is the set of all possibles mixtures of distributions $\\mu\\_a$, $a\\in A$.For instance and typically, the family$M\\_a$ is the set of all mixtures ofGaussian distributions on $R$ with mean and standard deviation $a=(a,\\sigma)$ in some compact set $A\\subset R^2$.We provide a sequence of inner approximations $X^d\\_\\varepsilon=\\{x\\in X: w\\_d(x) <\\varepsilon\\}$, $d\\in N$, where $w\\_d$ is a polynomial of degree $d$ whosevector of coefficients is an optimal solution of a semidefinite program.The size of the latter increases with the degree $d$. We also obtain the strong and highly desirable asymptotic guarantee that $\\lambda(X^*\\_\\varepsilon\\setminus X^d\\_\\varepsilon)\ o0$as $d$ increases, where $\\lambda$ is the Lebesgue measure on $X$. Same resultsare also obtained for the more intricated case of distributionally robust "joint" chance-constraints.

研究の動機と目的

• 不確実性の確率分布が既知で固定されているという仮定に依存する従来のチャンス制約最適化の限界を克服すること。
• 分布の一部の知識（例：ガウス分布、指数分布などとの混合）しか得られない状況において、分布的に頑健なチャンス制約の取り扱いやすい近似手法を開発すること。
• 混合あいまい性集合で定義される分布族全体にわたって意思決定の実行可能集合が頑健に保たれるようにすること。
• 近似次数を増加させることで真の頑健実行可能集合にルベーグ測度において収束する内部近似の階層を提供すること。

提案手法

• 実行可能集合は、混合あいまい性集合 M_a に属するすべての分布に対して、制約違反確率が ε 以下であるような意思決定 x ∈ X の集合として定義される。
• 本手法は、次数 d を増加させることで、多項式 w_d(x) を用いた内部近似 X^d_ε を構築する。ここで、w_d(x) < ε が近似を定義する。
• 多項式 w_d の係数は、半正定値計画法（SDP）の解として得られ、モーメント-平方和（Moment-SOS）階層を用いて取り扱いやすい計算が可能になる。
• 本手法は、混合分布（例：ガウス分布、指数分布、ポアソン分布）のモーメントがパラメータの多項式関数として表現できることを活用している。
• 本手法は個別チャンス制約および同時チャンス制約の両方に対応でき、分布族にやや弱い正則性条件が課されれば収束保証が得られる。
• 理論的収束性はルベーグ測度を用いて確立される。d を増加させることで、真の頑健集合 X^*_ε と近似集合 X^d_ε の差の測度は 0 に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合あいまい性集合下での多項式チャンス制約に対して、取り扱いやすく収束性を有する分布的に頑健な実行可能集合の近似を構築できるか？
• RQ2 近似次数を増加させることで、近似誤差（ルベーグ測度）がどのように消えていくかを保証できるか？
• RQ3 ガウス分布、指数分布、ポアソン分布の混合など、分布族にどのような条件が課されれば、モーメントの多項式表現が可能となり、本手法が適用可能になるか？
• RQ4 複数の制約が同時に高い確率で満たされる必要がある同時チャンス制約に対しても、本手法を拡張可能か？
• RQ5 近似次数 d を増加させるに従い、得られるSDP階層の計算複雑性とスケーラビリティはどのように変化するか？

主な発見

• 提案手法により、d → ∞ のとき、ルベーグ測度において真の頑健実行可能集合 X^*_ε に収束する内部近似 X^d_ε = {x ∈ X : w_d(x) < ε} の系列が得られる。
• 次数 d の多項式 w_d(x) は、半正定値計画法を解くことで構築され、モーメント-SOS階層を用いて取り扱いやすい計算が可能になる。
• ガウス分布、指数分布、ポアソン分布、二項分布などの混合族において、分布のモーメントはパラメータの多項式関数として表現可能であり、必要な代数的構造を満たす。
• 近似次数を増加させることで、X^*_ε \ X^d_ε の測度が 0 に収束し、強い漸近的収束保証が得られる。
• 本手法は個別チャンス制約および同時チャンス制約の両方に適用可能であり、より複雑な頑健最適化問題へのフレームワーク拡張が可能である。
• 一般的な分布（ガウス分布、指数分布など）に対して、理論的条件（仮定2.4および2.5）が満たされ、モーメント表現の有効性と積分の連続性が保証される。