[論文レビュー] Distributions of discriminants of cubic algebras

Takashi Taniguchi|ArXiv.org|Jun 5, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、数体 $k$ の整数環 $\mathcal{O}$ 上の立方代数の判別式の分布を、準同型ベクトル空間の理論を用いて研究する。二進立方形式および二次形式に関連するゼータ関数を用い、相対的判別式が有界な立方体拡張の数に対する漸近公式を導出する。これは $\mathbb{Q}$ 上での Shintani の結果を一般化し、$k$ が二次体の場合、理想類群の 3- torsion に依存する $X^{5/6}$ 項を含む補正項を明らかにする。

ABSTRACT

We study the space of binary cubic and quadratic forms over the ring of integers $O$ of an algebraic number field $k$. By applying the theory of prehomogeneous vector spaces founded by M. Sato and T. Shintani, we can associate the zeta functions for these spaces. Applying these zeta functions, we derive some density theorems on the distributions of discriminants of cubic algebras of $O$. In the case $k$ is a quadratic field, we give a correction term as well as the main term. These are generalizations of Shintani's asymptotic formulae of the mean values of class numbers of binary cubic forms over $\mathbb Z$.

研究の動機と目的

• 数体 $k$ の整数環 $\mathcal{O}$ 上の立方代数の判別式の分布を研究すること。
• 整数環 $\mathbb{Z}$ 上の二進立方形式の類数に関する Shintani の漸近公式を、任意の数体、特に二次体にまで拡張すること。
• 漸近展開における $X^{5/6}$ 項を形作る要因としてのステインツ類および理想類群の 3- torsion の役割を分析すること。
• 準同型ベクトル空間の文脈において、軌道ゼータ関数のメロモルフィック拡張およびオイラー積構造を確立すること。

提案手法

• 佐藤と新谷が開発した準同型ベクトル空間の理論を、$\mathcal{O}$ 上の二進立方形式および二次形式の空間に適用する。
• アデール環上のシュワーツ＝ブローアト関数からグローバルゼータ関数を構成し、分解公式を用いてそれらを軌道ゼータ関数と関連付ける。
• 準同型ベクトル空間の相対不変量 $R_1$ および $R_2$ を用いてゼータ関数を定義し、その解析的性質を分析する。
• 軌道ゼータ関数にオイラー積分解を導出し、局所因子が各軌道の標準代表元および局所クラス体論に依存することを示す。
• ゼータ関数の関数等式および収束性を応用し、立方代数の数え上げ関数に対する漸近公式を抽出する。
• 理想類群 $\mathrm{Cl}(k)$ の 3- torsion に依存する補正項を漸近公式に導入し、特に $k$ が二次体の場合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体 $k$ の整数環 $\mathcal{O}$ 上の立方代数の判別式の漸近的分布は何か？
• RQ2 理想類群 $\mathrm{Cl}(k)$ に非自明な 3- torsion が存在する場合、立方代数の数え上げにおける補正項にどのような影響を与えるか？
• RQ3 整数環 $\mathbb{Z}$ 上の二進立方形式に対する Shintani の漸近公式は、任意の数体、特に二次体に一般化可能か？
• RQ4 ステインツ類は立方代数の分布にどのような役割を果たし、$X^{5/6}$ 項にどのように影響を与えるか？
• RQ5 二進立方形式の準同型ベクトル空間に関連するゼータ関数は、グローバルおよび局所的にどのように振る舞うか？

主な発見

• 二次体 $k$ に対して、$F$ が $k$ 上の立方体拡張で、$r_1 + 2i$ 個の実埋め込みをもち、$N(\Delta_{R/\mathcal{O}}) \leq X$ を満たすペア $(R,F)$ の数は、主項 $3^{-i - r_2} \mathfrak{A}_k X$ と補正項 $3^{-i/2} \mathfrak{B}_k X^{5/6}$ を持ち、誤差は $O(X^{9/11 + \varepsilon})$ である。
• 理想類群 $\mathrm{Cl}(k)$ に非自明な 3- torsion が存在する場合、$X^{5/6}$ 項はステインツ類に関して非一様に分布しており、係数 $\tau(\mathfrak{a})$ によって反映される。
• 係数 $\tau(\mathfrak{a})$ は、$\mathfrak{a}$ が $\mathrm{Cl}(k)$ 内で立方である場合に 1、そうでない場合に 0 であり、これは補正項に寄与する理想類が特定のものに限られることを示している。
• 漸近公式には、立方代数への実埋め込みの割り当て方の数を反映する二項係数 $\binom{r_1}{i}$ による正規化が含まれている。
• 軌道ゼータ関数は $\mathbb{C}^2$ 上にメロモルフィックに拡張可能であり、$k$ 及びその二次拡張のゼータ関数を含むオイラー積分解を持つ。
• グローバルゼータ関数は $H_k$-軌道の和に分解され、軌道ゼータ関数は標準代表元および不変量 $R_1$, $R_2$ を含む局所積分で表現される。