[論文レビュー] Distributions on symmetric cones II: Beta-Riesz distribution

José A. Dı́az-Garcı́a|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実ノルム除法代数に対してbeta-Riesz分布を導入し、Riesz分布を行列変量形式に一般化することで、古典的beta-Wishart分布を拡張する。型Iおよび型IIのバリエーションにおいて、形状母数と行列母数を含む、固有値の明示的同時密度関数を導出する。形状母数が0に近づく極限では、標準的なbeta-Wishart法則が回復される。

ABSTRACT

This article derives several properties of the Riesz distributions, such as their corresponding Bartlett decompositions, the inverse Riesz distributions and the distribution of the generalised variance for real normed division algebras. In addition, introduce a kind of generalised beta distribution termed beta-Riesz distribution for real normed division algebras. Two versions of this distributions are proposed and some properties are studied.

研究の動機と目的

• 実ノルム除法代数に対するRiesz分布理論を一般化beta-Riesz分布に拡張すること。
• 古典的beta-Wishart分布に類似した、型Iおよび型IIの2種類のbeta-Riesz分布を確立すること。
• 行列変量技術を用いて、これらの分布の固有値の同時確率密度関数を導出すること。
• 形状母数が0に近づく場合に、beta-Riesz分布が古典的beta-Wishart分布に還元されることを示すこと。
• 1つの代数的枠組みを用いて、実数、複素数、ケイリー数、オクタニオン設定における多変量分布理論を統一すること。

提案手法

• 対称錐上のRiesz分布に基づき、型Iおよび型IIの2種類のbeta-Riesz分布を提案する。
• Bartlett型分解を適用し、beta-Riesz分布の固有値の同時密度を導出する。
• 一般化されたbeta関数 $\mathcal{B}_{m}^{\beta}[a,\kappa;b,\tau]$ とRiesz測度を用いて、行列母数を含む密度を定義する。
• 固有値の差の積 $\prod_{i<j}(\lambda_i - \lambda_j)^\beta$ と固有値のべき乗項を含む、固有値密度の公式を導出する。
• 固有構造に依存する関数 $Q(\kappa,\tau,\mathbf{L},\mathbf{I}_m - \mathbf{L})$ および $Q_1(\kappa,\tau,\mathbf{\Delta},\mathbf{I}_m + \mathbf{\Delta})$ を導入し、その依存関係をモデル化する。
• $\beta$ を $2\beta$ に置き換えることにより、ハイパーコンプレックス代数（例：双複素数、バイオクタニオン）へと結果を拡張し、$n=0,1,2,3,4,5$ に対して $2^n$-ions へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実ノルム除法代数全域にわたって、beta-Wishart分布をRiesz枠組みへどのように一般化できるか。
• RQ2 提案された型Iおよび型IIのbeta-Riesz分布の固有値の同時密度関数は何か。
• RQ3 形状母数 $\kappa$ および $\tau$ は、beta-Riesz密度の構造と古典的ケースへの還元にどのように影響を与えるか。
• RQ4 導出された分布は、実数、複素数、ケイリー数、オクタニオン設定における多変量解析をどのように統一するか。
• RQ5 一般化されたbeta関数とRiesz測度は、これらの行列変量分布の構築において果たす役割は何か。

主な発見

• 型Iのbeta-Riesz分布の同時密度は、$0 < \lambda_i < 1$ に対して、$\prod_{i<j}(\lambda_i - \lambda_j)^\beta \prod_{i=1}^m \lambda_i^{a - (m-1)\beta/2 - 1} \prod_{i=1}^m (1 - \lambda_i)^{b - (m-1)\beta/2 - 1} Q(\kappa,\tau,\mathbf{L}, \mathbf{I}_m - \mathbf{L})$ に比例する。
• 型IIのbeta-Riesz分布の同時密度は、$\delta_i > 0$ に対して、$\prod_{i<j}(\delta_i - \delta_j)^\beta \prod_{i=1}^m \delta_i^{a - (m-1)\beta/2 - 1} \prod_{i=1}^m (1 - \delta_i)^{-(a+b)} Q_1(\kappa,\tau,\mathbf{\Delta}, \mathbf{I}_m + \mathbf{\Delta})$ に比例する。
• $\kappa = \tau = \mathbf{0}$ のとき、両方のbeta-Riesz分布は、型Iおよび型IIの古典的行列多変量beta分布に還元される。
• 型IIの分布に対しては、$\text{Re}(a) > (m-1)\beta/2 + k_1$ および $\text{Re}(b) > (m-1)\beta/2 + t_1$ の制約が成り立ち、型Iに対しても同様の制約が適用される。
• $\beta$ を $2\beta$ に置き換えることにより、ハイパーコンプレックス代数（例：双複素数、バイオクタニオン）へ拡張可能であり、$n=0,1,2,3,4,5$ に対して $2^n$-ions へ一般化可能であるが、$n \leq 3$ のみが除法代数を形成する。
• 密度式におけるパラメータ $\varrho$ は、補題2.4により定義され、多変量ガンマ関数 $\Gamma_m^\beta[m\beta/2]$ を含む正規化定数に寄与する。