[論文レビュー] Distributions with dynamic test functions and multiplication by discontinuous functions

V.Ya. Derr, Damir Kinzebulatov|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、分布と不連続関数との間で連続的で、可換的で、結合的である乗法を可能にする、分布の新しい空間を導入する。これは、古典的分布論における主要な制限を克服するものである。この手法により、形状パrameter α に依存する族 $\delta_{\tau}^{\alpha}$ として、古典的デルタ関数が拡張され、最適制御理論における $H(t)\delta(t)$ のような積が、既知の定義と整合的かつ明確に定義可能になる、厳密な枠組みが提供される。

ABSTRACT

As follows from the Schwartz Impossibility Theorem, multiplication of two distributions is in general impossible. Nevertheless, often one needs to multiply a distribution by a discontinuous function, not by an arbitrary distribution. In the present paper we construct a space of distributions where the general operation of multiplication by a discontinuous function is defined, continuous, commutative, associative and for which the Leibniz product rule holds. In the new space of distributions, the classical delta-function $δ_τ$ extends to a family of delta-functions $δ_τ^α$, dependent on the extit{shape} $α$. We show that the various known definitions of the product of the Heaviside function and the delta-function in the classical space of distributions $\mathcal D'$ become particular cases of the multiplication in the new space of distributions, and provide the applications of the new space of distributions to the ordinary differential equations which arise in optimal control theory. Also, we compare our approach of the Schwartz distribution theory with the approach of the Colombeau generalized functions algebra, where the general operation of multiplication of two distributions is defined.

研究の動機と目的

• 古典的シュワーツ分布論における分布同士の乗法の不可能性、特に一方の因子が不連続関数である場合の制限を解消すること。
• 分布と不連続関数との間で、連続的で、可換的で、結合的であり、ライブニッツ則を満たすような分布空間を構築すること。
• 古典的デルタ関数 $\delta_{\tau}$ を形状 $\alpha$ に依存する族 $\delta_{\tau}^{\alpha}$ に拡張すること。
• 最適制御理論における $H(t)\delta(t)$ の既知の定義が、新しい乗法演算の特別な場合として再現可能であることを示すこと。
• 新しい枠組みを、最適制御理論に現れる常微分方程式に適用すること。

提案手法

• 古典的 $C^{\infty}_c$ のテスト関数の一般化である「動的テスト関数」を用いて、分布の新しい空間を定義する。
• 正則分布および連続関数の列の収束を許容する、テスト関数空間 $\mathcal{T}$ 上の位相を導入する。
• 分布の微分を、ジャンプ挙動と連続部分を含むStieltjes積分表現を用いて定義する。
• 正則分布および連続関数の近似列を用いた極限過程により、分布 $v$ と不連続関数 $g$ の積 $gv$ を構成する。
• $v_n \to v$ および $g_n \to g$ の同時収束下で乗法演算が連続であることを証明し、性質 $\mathcal{B}$ を満たすことを示す。
• Stieltjes積分と変動ノルムを用いて、微分を連続部分とジャンプ部分に分解することで、積 $fg$ のライブニッツ則を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的シュワーツ分布理論の枠組み内で、不連続関数との間で連続的で、可換的で、結合的な乗法を定義することは可能か？
• RQ2 テスト関数の形状に依存するように、古典的デルタ関数を一般化する方法は何か？ そして、これにより分布積にどのような意味が生じるか？
• RQ3 $\mathcal{D}'$ における $H(t)\delta(t)$ の既知の定義は、新しい乗法演算の特別な場合として再現可能か？
• RQ4 本フレームワークにより、状態または制御が不連続となるインパルス的制御を伴う常微分方程式の解の定義問題を解消できるか？
• RQ5 コロンベールの一般化関数代数と比較して、本手法はどのような性質と適用可能性を持つのか？

主な発見

• 近似列の正則分布および連続関数の同時収束下で、不連続関数との乗法演算が連続的であり、性質 $\mathcal{B}$ を満たすことが示された。
• 古典的デルタ関数 $\delta_{\tau}$ は、$\alpha$ が $\tau$ の近傍におけるテスト関数の形状を符号化するように、族 $\delta_{\tau}^{\alpha}$ に拡張された。これにより、分布積における曖昧さが解消された。
• $\mathcal{D}'$ では定義不能とされる積 $H(t)\delta(t)$ が、新しい空間では明確に定義可能であり、既存の定義と整合的であることが示された。
• 新しい乗法演算において、ライブニッツ積の法則が成り立ち、積の微分が連続部分およびジャンプ部分についてStieltjes積分で表現される。
• 本フレームワークにより、$\dot{x} = f(t,x) + g(t,x)v$ のようなインパルス的制御を伴う常微分方程式の厳密な取り扱いが可能になった。ここで $v$ は分布で、$g$ は不連続関数である。
• 本手法は、コロンベールの代数とは異なり、古典的分布論の構造を保ちつつ、従来不可能とされていた演算を可能にする代替的かつ実用的な手法を提供する。