[論文レビュー] Distributive inverse semigroups and non-commutative Stone dualities

Mark V. Lawson, Daniel Lenz|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、分配的逆半群とその恒等元のスペクトル空間がスペクトル空間であるエタール群コアの間の非可換ストーン双対性を確立し、分配的ラティスの古典的ストーン双対性を一般化する。分配的逆半群のブール化を導入し、エクセルのタイト群コアがタイト完備化のスペクトルとして現れることを示し、$C^*$-代数理論における非可換フレーム理論の概念的基盤を提供する。

ABSTRACT

We develop the theory of distributive inverse semigroups as the analogue of distributive lattices without top element and prove that they are in a duality with those etale groupoids having a spectral space of identities, where our spectral spaces are not necessarily compact. We prove that Boolean inverse semigroups can be characterized as those distributive inverse semigroups in which every prime filter is an ultrafilter; we also provide a topological characterization in terms of Hausdorffness. We extend the notion of the patch topology to distributive inverse semigroups and prove that every distributive inverse semigroup has a Booleanization. As applications of this result, we give a new interpretation of Paterson's universal groupoid of an inverse semigroup and by developing the theory of what we call tight coverages, we also provide a conceptual foundation for Exel's tight groupoid.

研究の動機と目的

• 逆半群を用いて、分配的ラティスからの古典的ストーン双対性を非可換設定へと拡張すること。
• すべての素フィルターが極大フィルターであるような分配的逆半群としてのブール逆半群を特徴付けること。
• スペクトル空間とパッチ位相を用いて、非可換フレーム理論の位相的枠組みを構築すること。
• エクセルのタイト群コアとパトソンのユニバーサル群コアを、分配的逆半群を用いて概念的基盤を提供すること。
• 逆半群におけるタイトフィルターとそのブール化における素フィルターの間の双対性を確立すること。

提案手法

• 上に最大元を持たない分配的ラティスの非可換類似物として分配的逆半群を導入すること。
• 逆半群のスペクトルにパッチ位相を定義し、それがスペクトル的であることを証明すること。
• 逆半群のタイトフィルターのパッチ位相における完備化として、分配的逆半群のブール化を構成すること。
• 逆半群におけるタイトフィルターとそのブール化における素フィルターの間の順序同型を確立すること。
• この同型を用いて、元の半群のタイト群コアとそのブール化のスペクトル群コアの間の位相同相を誘導すること。
• この双対性を適用し、パトソンのユニバーサル群コアとエクセルのタイト群コアを、完備化のスペクトルとして再解釈すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分配的逆半群はどのように分配的ラティスの非可換一般化として機能するか？
• RQ2 分配的逆半群とその恒等元空間がスペクトル空間であるエタール群コアの間の位相的双対性は何か？
• RQ3 ブール逆半群は、超フィルター条件を通じてどのように分配的逆半群と関係するか？
• RQ4 分配的逆半群のブール化は、エクセルのタイト群コアの概念的基盤をどのように提供するか？
• RQ5 逆半群のスペクトルにおけるパッチ位相は、そのタイトフィルターの構造とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の分配的逆半群は、そのタイトフィルターから構成されるブール逆半群としてのブール化を持つ。
• ブール逆半群は、すべての素フィルターが極大フィルターであるような分配的逆半群として特徴付けられる。
• 逆半群のタイト群コアは、そのブール化のスペクトル群コアと位相的に同相であり、エクセルの構成の新たな解釈を提供する。
• 逆半群におけるタイトフィルターとそのブール化における素フィルターの間の双対性は、順序同型であり、群コアの位相同相を誘導する。
• 分配的逆半群のスペクトルにおけるパッチ位相はスペクトル的であり、ブール化はタイト完備化のスペクトルとして実現される。
• パトソンのユニバーサル群コアは、逆半群のタイト完備化のブール化のスペクトルとして再解釈される。