[論文レビュー] Disturbance-to-State Stabilization and Quantized Control for Linear Hyperbolic Systems

Aneel Tanwani, Christophe Prieur+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、境界制御を伴う線形双曲型PDEに対して、測定値が有界な摂動によって汚染される状況における、摂動-状態安定化フレームワークを提案する。リャプノフに基づくアプローチを用いて、最大状態ノルムが指数的減衰項と摂動依存項によって抑えられることを確立し、測定誤差に対するロバスト性を実現するとともに、実用的安定性保証のもとで量子化制御を可能にする。

ABSTRACT

We consider a system of linear hyperbolic PDEs where the state at one of the boundary points is controlled using the measurements of another boundary point. Because of the disturbances in the measurement, the problem of designing dynamic controllers is considered so that the closed-loop system is robust with respect to measurement errors. Assuming that the disturbance is a locally essentially bounded measurable function of time, we derive a disturbance-to-state estimate which provides an upper bound on the maximum norm of the state (with respect to the spatial variable) at each time in terms of $\mathcal{L}^\infty$-norm of the disturbance up to that time. The analysis is based on constructing a Lyapunov function for the closed-loop system, which leads to controller synthesis and the conditions on system dynamics required for stability. As an application of this stability notion, the problem of quantized control for hyperbolic PDEs is considered where the measurements sent to the controller are communicated using a quantizer of finite length. The presence of quantizer yields practical stability only, and the ultimate bounds on the norm of the state trajectory are also derived.

研究の動機と目的

• 境界測定値が有界な摂動によって汚染される線形双曲型PDEに対して、ロバストな制御フレームワークを構築すること。
• 初期条件と摂動エネルギーを用いて最大状態ノルムを評価する摂動-状態安定性（DSS）推定を確立すること。
• DSSフレームワークを量子化測定の状況に拡張し、明示的な最終的境界を伴う実用的安定性を保証すること。
• DSSを達成するためのシステムダイナミクスおよび制御器設計に関する十分条件を、リャプノフ関数を用いて導出すること。

提案手法

• 閉ループ系の安定性を解析するため、重み付き $ L^2 $-類似ノルムにおけるリャプノフ関数を構築する。
• 形式 $ \max_{z\in[0,1]}|X(z,t)| \leq c\,e^{-at}M_{X^0} + \gamma(\|d_{[0,t]}\|_{\infty}) $ の摂動-状態推定を導出する。ここで $ \gamma \in \mathcal{K}_\infty $ である。
• 随伴作用素と半群論を用いて、十分な条件下で閉ループ系が $ C_0 $-半群を生成し、指数的安定であることを証明する。
• 遅延またはノイズのある測定に対応するため、記憶を持つ動的制御器を導入し、ロバスト性を確保する。
• 量子化制御にDSSフレームワークを適用する際、量子化を有界な摂動としてモデル化することで、実用的安定性を達成する。
• システム行列 $ \Lambda, H, B $ および制御器ゲインに関する条件を導出し、適切なリャプノフ関数の存在と安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフに基づくアプローチは、有界な測定摂動下における線形双曲型PDEの摂動-状態安定性を保証できるか？
• RQ2 システム行列および制御器構造にどのような条件が課されると、摂動下でも状態ノルムの指数的減衰が保証されるか？
• RQ3 量子化測定を有界な摂動としてどのようにモデル化すれば、双曲型PDE制御における実用的安定性を保証できるか？
• RQ4 フィニット長の量子化器をフィードバックループに使用した場合、状態ノルムの最終的境界は何か？
• RQ5 DSS推定式は、初期状態と摂動の $ \mathcal{L}^\infty $-ノルムを用いて表現可能か？

主な発見

• 本稿では、最大状態ノルムが指数的減衰項と、摂動の $ \mathcal{L}^\infty $-ノルムの $ \mathcal{K}_\infty $-関数によって抑えられる摂動-状態安定性推定を確立した。
• 量子化制御下での状態ノルムの最終的境界が明示的に導出され、量子化器の分解能とシステムパラメータに依存する。
• DSSのための十分条件が、システム行列 $ \Lambda, H, B $ および制御器ゲインの観点から導出され、適切なリャプノフ関数の存在を保証する。
• 閉ループ系が $ C_0 $-半群を生成することを示し、導出された条件下で適切な定義と指数的安定性が保証される。
• 量子化制御のケースでは、量子化誤差とシステムダイナミクスに依存する最終的境界を伴う実用的安定性が達成される。
• 分析により、摂動がゼロに近づく場合、状態ノルムもゼロに収束することが確認され、摂動が存在しない場合には漸近的安定性が保証される。