[論文レビュー] Divergence-free H(div)-conforming hierarchical bases for magnetohydrodynamics (MHD)

Wei Cai, Jian Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2012

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、各要素に高次内部バブル関数を追加することで、正確な発散自由磁場を強制する、磁気流体力学（MHD）のための新しい階層的H(div)-適合有限要素基底を提案する。この手法は、法線方向連続性とバブル関数のゼロ法線フラックスにより、局所的および大域的発散自由条件を満たす。数値結果により、三角形では4次まで、四面体では3次までの良好な条件数を持つ質量行列と剛性行列が確認された。

ABSTRACT

In order to solve the magnetohydrodynamics (MHD) equations with a $\mathbf{\mathcal{H}}(\mathbf{div})$-conforming element, a novel approach is proposed to ensure the exact divergence-free condition on the magnetic field. The idea is to add on each element an extra interior bubble function from higher order hierarchical $\mathbf{\mathcal{H}}(\mathbf{div})$-conforming basis. Four such hierarchical bases for the $\mathbf{\mathcal{H}}% (\mathbf{div})$-conforming quadrilateral, triangular, hexahedral and tetrahedral elements are either proposed (in the case of tetrahedral) or reviewed. Numerical results have been presented to show the linear independence of the basis functions for the two simplicial elements. Good matrix conditioning has been confirmed numerically up to the fourth order for the triangular element and up to the third order for the tetrahedral element.

研究の動機と目的

• 正確な発散自由磁場を有するMHD方程式を解くための強固なH(div)-適合有限要素法の開発。
• 従来の階層的H(div)基底が2次近似において線形従属を示す問題の解消。
• 境界上で消える内部バブル関数を用いて、局所的発散自由の強制。
• 単体要素における提案基底関数の線形独立性と良好な行列条件数の確認。
• H(div)-適合要素を用いた高次元、安定的かつ高精度なMHDシミュレーションの基盤の提供。

提案手法

• 参照要素フレームワークを用いて、四角形、三角形、六面体、四面体要素のための新しい階層的H(div)-適合基底を導入。
• エッジおよび面ベースの自由度とパイオラ変換を用い、一般メッシュにおいても要素界面での法線方向連続性を保証。
• p次H(div)基底に(p+1)次内部バブル関数を追加し、各要素における局所的発散自由条件を満たす。
• バブル関数はすべての要素境界で法線成分がゼロとなるため、法線方向連続性を保ち、大域的発散自由場を実現。
• ノード、エッジ、面ベースの関数を含む階層的構成を採用し、接線成分の高次モーメントも考慮。
• 質量行列と剛性行列を用いて条件数を数値的に評価し、条件数は最大固有値と最小固有値の比として計算。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四面体要素に対して、従来の定式化で見られる線形従属問題を回避する階層的H(div)-適合基底を構築可能か？
• RQ2 要素レベルで磁場の発散自由条件を正確に強制しつつ、法線方向連続性を保持する方法は何か？
• RQ3 高次近似における質量行列と剛性行列の条件数行動はいかなるものか？
• RQ4 高次内部バブル関数の導入により、基底関数の線形独立性と安定性が保持されるか？
• RQ5 提案手法は、実用的なMHDシミュレーションにおいて、三角形ではp=4まで、四面体ではp=3まで良好な条件数を持つ行列を達成できるか？

主な発見

• 提案された四面体要素用階層的H(div)基底は、p=4まで質量行列の有限条件数により線形独立性が確認された。
• 三角形要素では、p=4において質量行列の条件数が1.286×10⁴、剛性行列が8.843×10³に保たれ、良好な条件数であることが示された。
• 四面体要素では、p=3まで質量行列と剛性行列が良好に条件付けられており、それぞれ条件数は3.412×10⁶および1.094×10⁶であった。
• p=2では、第一種エッジベース面基底が第二種よりも良好な条件数（質量行列条件数6.987×10³）を示した。
• p=4では、第二種エッジベース面基底が第一種よりも優れた条件数（質量行列条件数2.717×10⁷）を示した。
• 法線方向連続なp次基底関数と、要素境界で法線フラックスがゼロとなるp+1次内部バブル関数を組み合わせることで、大域的発散自由磁場を実現した。