[論文レビュー] Divergence-free Reconstruction Operators for Pressure-Robust Stokes Discretizations With Continuous Pressure Finite Elements

Philip L. Lederer, Alexander Linke+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、連続圧力空間を備えたTaylor-Hoodおよびミニ有限要素に対して、発散自由な速度再構成作用素を新たに導入し、圧力に頑健なストークス離散化を実現する。頂点パッチにおける局所的フラックスの釣り合いを保ち、H(div)-適合再構成を用いて直交性を強制することにより、最適な収束性を達成し、圧力依存の速度誤差を完全に排除する。大規模な連続圧力を伴うベンチマークにおいて、古典的バージョンに比べて著しく優れた性能を発揮する。

ABSTRACT

Classical inf-sup stable mixed finite elements for the incompressible (Navier-)Stokes equations are not pressure-robust, i.e., their velocity errors depend on the continuous pressure. However, a modification only in the right hand side of a Stokes discretization is able to reestablish pressure-robustness, as shown recently for several inf-sup stable Stokes elements with discontinuous discrete pressures. In this contribution, this idea is extended to low and high order Taylor-Hood and mini elements, which have continuous discrete pressures. For the modification of the right hand side a velocity reconstruction operator is constructed that maps discretely divergence-free test functions to exactly divergence-free ones. The reconstruction is based on local $H(\mathrm{div})$-conforming flux equilibration on vertex patches, and fulfills certain orthogonality properties to provide consistency and optimal a-priori error estimates. Numerical examples for the incompressible Stokes and Navier-Stokes equations confirm that the new pressure-robust Taylor-Hood and mini elements converge with optimal order and outperform significantly the classical versions of those elements when the continuous pressure is comparably large.

研究の動機と目的

• 連続圧力を持つ古典的Taylor-Hoodおよびミニ有限要素における圧力に頑健でない欠如を解消する。
• 離散発散自由な試験関数を正確に発散自由な関数に写像する速度再構成作用素を開発する。
• 再構成に直交性および一貫性の性質を組み込むことで、最適な収束性と一貫性を保証する。
• 剛性行列を変更せずに右辺を修正することで、圧力に頑健な性質を実現する。
• 従来、非連続圧力要素に限定されていた圧力に頑健な枠組みを、適合する連続圧力有限要素法へ拡張する。

提案手法

• 頂点パッチにおける局所的H(div)-適合フラックスの釣り合いに基づき、速度再構成作用素Rhを構築する。
• 離散発散を保存するとともに一貫性を保証する局所的離散問題として再構成を定義する。
• バブル射影作用素、平均化作用素、およびKoszul複体の性質を用いて、必要な直交性および一貫性条件を満たす。
• H1適合速度試験関数を、正確に発散自由なH(div)-適合関数に写像する。
• ストークス変分形式の右辺をRhを用いて修正することで、圧力に頑健な性質を達成する。
• 再構成が離散LBB条件を保ち、元の方法の剛性行列をそのまま継承することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右辺の修正のみを用いて、連続離散圧力を持つTaylor-Hoodおよびミニ要素に対して圧力に頑健な性質を達成できるか？
• RQ2 連続圧力設定下で、離散発散自由関数を正確に発散自由な関数に写像する速度再構成作用素をどのように構築できるか？
• RQ3 頂点パッチにおけるどのような局所的問題定式化が、再構成作用素の最適な収束性と一貫性を保証するか？
• RQ4 提案手法は、ストークスおよびナビエ-ストークス問題の両方において、最適な収束率を維持するか？
• RQ5 連続圧力が大きい場合、修正された手法の性能は古典的バージョンと比べてどのように異なるか？

主な発見

• k=4のTaylor-Hood要素において、7,572自由度のメッシュ上でも速度誤差が3.66×10−12にまで低下し、正確な解が離散空間内にある場合、ほぼマシン精度に達する。
• 修正されたTaylor-Hoodおよびミニ要素は、大規模な連続圧力が存在する場合でも、速度に関して最適なH1収束順序、圧力に関して最適なL2収束順序を達成する。
• 古典的バージョンが圧力依存の速度誤差を抱える問題において、本手法は著しく優れた性能を発揮する。
• 数値実験では、メッシュの細分化が古典的手法の速度誤差を是正しない一方で、修正された手法は最適な収束性を維持する。
• ナビエ-ストークスのポテンシャル流れの例では、Rhを用いた非標準的離散化により、正確な解が離散空間内にある場合に速度誤差が完全に消去されるのに対し、標準的手法ではそのような効果は得られない。