[論文レビュー] Divergence free Virtual Elements for the Stokes problem on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, Carlo Lovadina+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、一般の多角形メッシュ上で点在的発散自由な速度近似を保証する、ストークス問題に対する新規な仮想要素法（VEM）を提案する。この手法により、正確な非圧縮性が確保される。速度有限要素空間と自由度を巧みに構築することで、圧力と速度の自由度を自動的に削除でき、最適収束性を達成するとともに自由度の大幅な削減が実現され、従来のVEM手法と比較して極めて効率的かつ高精度なスケームが得られる。

ABSTRACT

In the present paper we develop a new family of Virtual Elements for the Stokes problem on polygonal meshes. By a proper choice of the Virtual space of velocities and the associated degrees of freedom, we can guarantee that the final discrete velocity is pointwise divergence-free, and not only in a relaxed (projected) sense, as it happens for more standard elements. Moreover, we show that the discrete problem is immediately equivalent to a reduced problem with less degrees of freedom, thus yielding a very efficient scheme. We provide a rigorous error analysis of the method and several numerical tests, including a comparison with a different Virtual Element choice.

研究の動機と目的

• 一般多角形メッシュ上でのストークス問題に対して、点在的発散自由な速度近似を保証する仮想要素法の開発。
• 従来のVEMが発散自由条件を投影（弱い意味）でのみ満たすという制限を克服すること。
• 速度自由度と圧力自由度の直交性条件を用いて、多くの自由度を削除することで計算コストを低減すること。
• ナビエ＝ストークスのような複雑な流れ問題に適した安定的かつ収束性があり、計算効率の高いスケームの提供。
• 厳密な誤差解析と数値ベンチマークを通じて、本手法の精度および効率性の優位性を示すこと。

提案手法

• 離散的核が投影的ではなく、点在的に発散自由となるように、速度の仮想要素空間を構築する。
• 圧力自由度と関連する速度自由度の間の直交性を誘導するように、自由度を巧みに選択する。
• この直交性により、多くの自由度が自動的に削除され、各要素に対して1つの圧力自由度と少数の内部速度自由度を有する低次元系に還元できる。
• 離散問題を低次元系に再定式化することで、計算コストを著しく低減しながらも精度を保持する。
• 離散インフラ条件と一貫性誤差推定を用いて、安定性および収束性を解析する。
• 圧力解の再構築を可能にするための後処理手順を適用し、完全なスケームと低次元スケームとの比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストークス問題に対して、多角形メッシュ上でも点在的発散自由な速度近似を保証する仮想要素法を構築可能か？
• RQ2 精度や安定性を損なわず、ストークス問題のVEMにおける自由度数をどのように低減できるか？
• RQ3 一般多角形メッシュ上での発散自由VEMの収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 提案手法は、ストークス問題に拡張された標準VEMアプローチと比較して、精度および効率性において優れているか？
• RQ5 低次元化された定式化は、元の手法の最適収束率を保持しているか？

主な発見

• 提案手法は、速度誤差および圧力誤差の両方で理論的期待と一致する最適収束率 $ h^k $ を達成する。
• 同一の多項式次数 $ k $ に対して、特に $ k=2 $ および $ k=3 $ の場合、全テストメッシュで標準VEMアプローチよりも著しく小さい誤差を示す。
• 速度場および圧力場の誤差はメッシュの細分化に伴い減少し、すべてのメッシュ族 $ \mathcal{V}_h $, $ \mathcal{T}_h $, および $ \mathcal{Q}_h $ に対して理論的収束率が確認される。
• 完全解と低次元解の間の乖離度 $ \varepsilon(\mathbf{u}) $ および $ \varepsilon(p) $ は $ 10^{-13} $ から $ 10^{-12} $ のオーダーであり、両定式化の等価性が確認される。
• 非同次境界条件が存在する場合でも、高次多項式を含む正確な解を用いた数値的検証により、最適収束性が維持されることを確認した。
• 自由度の自動削除により、各要素に対して1つの圧力自由度と最小限の内部速度自由度を有する系が得られ、計算効率が著しく向上する。