[論文レビュー] Divergence of the multilevel Monte Carlo method

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、超線形に成長する、グローバルに片側リプシッツなドリフト係数をもつ非線形SDEに対して、マルチレベルモンテカルロ・オイラー法が確率1の事象で発散することを示している。これは古典的モンテカルロ法とは対照的である。本稿では、マルチレベルフレームワーク内での標準オイラースキームに代えて、トゥーディング・オイラー法を採用することで、収束性を回復するとともに、高い計算効率を維持できると提言する。

ABSTRACT

The Euler-Maruyama scheme is known to diverge strongly and numerically weakly when applied to nonlinear stochastic differential equations (SDEs) with superlinearly growing and globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients. Classical Monte Carlo simulations do, however, not suffer from this divergence behavior of Euler's method because this divergence behavior happens on rare events. Indeed, for such nonlinear SDEs the classical Monte Carlo Euler method has been shown to converge by exploiting that the Euler approximations diverge only on events whose probabilities decay to zero very rapidly. Significantly more efficient than the classical Monte Carlo Euler method is the recently introduced multilevel Monte Carlo Euler method. The main observation of this article is that this multilevel Monte Carlo Euler method does - in contrast to classical Monte Carlo methods - not converge in general in the case of such nonlinear SDEs. More precisely, we establish divergence of the multilevel Monte Carlo Euler method for a family of SDEs with superlinearly growing and globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients. In particular, the multilevel Monte Carlo Euler method diverges for these nonlinear SDEs on an event that is not at all rare but has probability one. As a consequence for applications, we recommend not to use the multilevel Monte Carlo Euler method for SDEs with superlinearly growing nonlinearities. Instead we propose to combine the multilevel Monte Carlo method with a slightly modified Euler method. More precisely, we show that the multilevel Monte Carlo method combined with a tamed Euler method converges for nonlinear SDEs with globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients and preserves its strikingly higher order convergence rate from the Lipschitz case.

研究の動機と目的

• 超線形に成長するドリフト係数をもつ非線形SDEに対して、マルチレベルモンテカルロ・オイラー法の収束挙動を調査すること。
• マルチレベルモンテカルロ法がこのような場合に失敗する理由を特定すること。これは、古典的モンテカルロ法が依然として収束するのと対照的である。
• 収束性を保証するとともに、マルチレベル法の計算的利点を維持する修正された数値スキームを提案すること。
• 片側リプシッツ条件の下で、トゥーディング・オイラー法と組み合わせた場合のマルチレベルモンテカルロ法の理論的収束性を確立すること。

提案手法

• 超線形に成長する、グローバルに片側リプシッツなドリフト係数をもつSDEの族に対して、マルチレベルモンテカルロ・オイラー法の発散を分析すること。
• 発散が稀な事象ではなく、確率1の事象で発生することを示すこと。これは古典的モンテカルロ法とは異なり、発散が稀な現象ではない。
• 非線形ドリフトをもつSDEの数値近似を安定化するため、トゥーディング・オイラー法を導入すること。
• トゥーディング・オイラー法をマルチレベルモンテカルロフレームワークと組み合わせ、収束性を保証すること。
• 得られた手法が、リプシッツの場合に観察される高次の収束率を維持することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形に成長する、グローバルに片側リプシッツなドリフト係数をもつSDEに対して、マルチレベルモンテカルロ・オイラー法は収束するか？
• RQ2 なぜマルチレベルモンテカルロ・オイラー法はこのような場合に発散するのか。一方で、古典的モンテカルロ法は収束し続けるのか？
• RQ3 非線形SDEに対して、マルチレベルモンテカルロ法を、基礎となる数値スキームの修正によって救済できるか？
• RQ4 トゥーディング・オイラー法とマルチレベルモンテカルロ法を組み合わせた場合、リプシッツの場合に観察される高い収束率を維持できるか？

主な発見

• 超線形に成長する、グローバルに片側リプシッツなドリフト係数をもつSDEに対して、マルチレベルモンテカルロ・オイラー法は確率1の事象で発散する。
• この発散は、稀な事象に限定されていない。これは古典的モンテカルロ法とは対照的である。
• したがって、標準のマルチレベルモンテカルロ・オイラー法は、このような非線形SDEに対して信頼できない。
• 標準のオイラースキームをトゥーディング・オイラー法に置き換えることで、マルチレベルモンテカルロフレームワーク内での収束性が回復する。
• 得られた手法は、リプシッツの場合に特徴づけられる高い収束率を維持する。