[論文レビュー] Diverging sequences of unit volume invariant metrics with bounded curvature

Francesco Pediconi|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、曲率が有界なコンパクトで連結かつほぼ効果的な同次空間 G/H 上の単位体積 G-不変リーマン計量の発散する系列について考察する。このような系列は、中間的群 K が K/H をトーラスにするように、漸近的にファイブレーション構造に近づく必要があることを証明し、0-パライス・スメイル系列に関する以前の結果を一般化するとともに、同次トーラスバンドル構造に関する予想を裏付ける。

ABSTRACT

We study 1-parameter families in the space $\\mathscr{M}^G_1$ of $G$-invariant, unit volume metrics on a given compact, connected, almost-effective homogeneous space $M=G/H$. In particular, we focus on diverging sequences, i.e. which are not contained in any compact subset of $\\mathscr{M}^G_1$, and we prove some structure results for those which have bounded curvature. We also relate our results to an algebraic version of collapse.

研究の動機と目的

• コンパクトな同次空間 G/H 上の単位体積 G-不変計量の発散する系列の幾何学的および代数的構造を理解すること。
• [7, 定理 2.1] を一般化し、トレースレス・リッチテンソルが消えるという条件を除去すること。
• 発散する 0-パライス・スメイル系列が同次トーラスバンドル構造の存在を示すという予想を確認すること。
• 縮小する固有値の固有空間を用いた純代数的かつ構成的特徴付けを、このような発散する系列について確立すること。
• これらの系列の幾何的挙動が、縮小するファイバーを伴うサブメルジョン型ファイブレーションに関連することを示すこと。

提案手法

• 空間 M^G_1 内の 1 パrameter 家族の G-不変単位体積計量を分析する。
• 発散する系列における縮小する固有値に関連する固有空間の和が、中間的リー代数 l ⊂ g における h = Lie(H) に対する再帰的補完であることを特定する。
• H ⊂ L ⊂ G を満たす厳密な中間的リー部分群 L を構成するが、閉じていない可能性もある。その閉包 K = L̄ は K/H がトーラスであることを満たす。
• 曲率の有界性 |sec(g^(n))| ≤ C を用いて、計量系列の漸近的挙動を制御する。
• [6] からの推定式 |Rm(g)|_g ≤ C|Ric(g)|_g を適用し、Ric^o → 0 である系列が有界曲率を持つことを示す。
• 系列が漸近的に L/H → G/H → G/L のファイブレーション上のサブメルジョン型計量に近づくことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな同次空間 G/H 上に、有界曲率を伴う発散する単位体積 G-不変計量系列が存在するための条件は何か？
• RQ2 このような発散する系列が有界曲率を伴って存在するためには、G のリー代数にどのような代数的構造が必要か？
• RQ3 有界曲率を伴う発散する系列の存在は、K/H がトーラスであるような中間的群 K の存在を示唆するか？
• RQ4 このような系列の漸近的挙動は、同次ファイブレーション G/H 上のリーマン的サブメルジョン構造とどのように関係するか？
• RQ5 有界曲率の仮定の下で、G/H が同次トーラスバンドルであるという予想は確認できるか？

主な発見

• 有界曲率を伴う発散する系列 (g^(n)) ⊂ M^G_1 において、縮小する固有値に対応する固有空間の和は、中間的リー代数 l ⊂ g における h に対する再帰的補完をなす。
• これにより、H ⊂ L ⊂ G を満たす厳密な中間的リー部分群 L が存在し、その閉包 K = L̄ は K/H がトーラスであることを満たす。
• 系列 (g^(n)) は漸近的に L/H → G/H → G/L のファイブレーション上のサブメルジョン型計量に近づき、n → ∞ に伴いファイバーが縮小する。
• トレースレス・リッチテンソルが消える必要がないという点で、[7, 定理 2.1] の一般化が達成される。
• 曲率推定式 |Rm(g)|_g ≤ C|Ric(g)|_g により、0-パライス・スメイル系列（scal(g^(n)) → 0、|Ric^o(g^(n))| → 0）は有界曲率を持つことが保証され、したがって定理 A の範囲に入る。
• [7, p. 697] の予想、すなわち G/H が同次トーラスバンドルであるという仮定は、有界曲率の仮定の下で確認される。