[論文レビュー] Diverse Collections in Matroids and Graphs

Fedor V. Fomin, Petr A. Golovach+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、マトロイドにおける重み付き多様な基底、2つのマトロイドにおける重み付き多様な共通独立集合、およびグラフにおける多様な完全マッチングの3つの基本的問題に対するパrameterized複雑性を調査する。著者らは、3つの問題がすべてNP困難であるが、解の数$k$と多様性の閾値$d$の両方をパラメータとしてパラメータ化した場合、固定パラメータ tractable (FPT) であることを示している。実行時間$2^{2^{O(kd)}}n^{O(1)}$のFPTアルゴリズムと、有限体上での重み付き多様な基底問題に対する多項式カーネルを提示している。

ABSTRACT

We investigate the parameterized complexity of finding diverse sets of solutions to three fundamental combinatorial problems, two from the theory of matroids and the third from graph theory. The input to the Weighted Diverse Bases problem consists of a matroid M, a weight function ω:E(M)→N, and integers k ≥ 1, d ≥ 0. The task is to decide if there is a collection of k bases B_1, ..., B_k of M such that the weight of the symmetric difference of any pair of these bases is at least d. This is a diverse variant of the classical matroid base packing problem. The input to the Weighted Diverse Common Independent Sets problem consists of two matroids M₁,M₂ defined on the same ground set E, a weight function ω:E→N, and integers k ≥ 1, d ≥ 0. The task is to decide if there is a collection of k common independent sets I_1, ..., I_k of M₁ and M₂ such that the weight of the symmetric difference of any pair of these sets is at least d. This is motivated by the classical weighted matroid intersection problem. The input to the Diverse Perfect Matchings problem consists of a graph G and integers k ≥ 1, d ≥ 0. The task is to decide if G contains k perfect matchings M_1, ..., M_k such that the symmetric difference of any two of these matchings is at least d. The underlying problem of finding one solution (basis, common independent set, or perfect matching) is known to be doable in polynomial time for each of these problems, and Diverse Perfect Matchings is known to be NP-hard for k = 2. We show that Weighted Diverse Bases and Weighted Diverse Common Independent Sets are both NP-hard. We show also that Diverse Perfect Matchings cannot be solved in polynomial time (unless P=NP) even for the case d = 1. We derive fixed-parameter tractable (FPT) algorithms for all three problems with (k,d) as the parameter. The above results on matroids are derived under the assumption that the input matroids are given as independence oracles. For Weighted Diverse Bases we present a polynomial-time algorithm that takes a representation of the input matroid over a finite field and computes a poly(k,d)-sized kernel for the problem.

研究の動機と目的

• 3つの基本的組合せ問題（マトロイドの基底、共通独立集合、完全マッチング）に対する多様な解のパrameterized複雑性を研究すること。
• 最適解が1つしか得られないという実用的制限を克服するため、対称差の意味で十分に異なる解が得られるように多様性を主要基準として導入すること。
• 古典的多項式時間で解ける問題の多様なバージョンが、パラメータ化複雑性の下でも tractable であるかを同定すること、特に多様性が対称差の重みで測られる場合に焦点を当てる。
• 解の数$k$と最小多様性閾値$d$の組み合わせパラメータ$(k, d)$に基づき、3つの問題すべてに対するFPTアルゴリズムを導出すること。
• 多様な解の構造的およびアルゴリズム的性質を調査し、特に有限体上での重み付き多様な基底問題におけるカーネル化を検討すること。

提案手法

• 3つの多様な解問題を形式化する：マトロイドにおける重み付き多様な基底（Weighted Diverse Bases）、2つのマトロイドにおける重み付き多様な共通独立集合（Weighted Diverse Common Independent Sets）、グラフにおける多様な完全マッチング（Diverse Perfect Matchings）。
• 多様性の測定に、対称差の重みを用いる：任意の2つの解について、$\omega(S_i \triangle S_j) \geq d$ が成り立つ。
• 反復的マッチングと動的計画法の技術を用いて、3つの問題すべてに対するFPTアルゴリズムを開発する。主なサブルーチンは、色分けと色の部分集合に対するテーブルベースの動的計画法に基づく。
• 重み付き多様な基底問題に対しては、マトロイドが有限体上に表現されている場合に、$\text{poly}(k,d)$-サイズのカーネルを計算する多項式時間のカーネル化アルゴリズムを提示する。
• 独立性オракルや色分けを用いてマトロイドおよびグラフの構造を活用し、多様な解集合を効率的に探索する。
• 確率的還元と反復的マッチング構築を用いて多様性を保証する：まず多様な初期集合を貪欲に構築し、その後、再帰的な推測と精錬戦略を用いて解を完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き多様な基底、重み付き多様な共通独立集合、多様な完全マッチングといった古典的マトロイドおよびグラフ問題の多様なバージョンは、パラメータ$k$と$d$でパラメータ化した場合、固定パラメータ tractable（FPT）であるか？
• RQ2 マトロイド問題の多様なバージョンは、$k=1$または$k=2$のとき、多項式時間で解けるか、それとも小さな$k$や$d$に対してもNP困難になるか？
• RQ3 重み付き多様な基底問題は、$k$のみ、または$d$のみをパラメータとしてパラメータ化した場合にFPTであるか？ ただし、$k=2$のときでさえNP困難であることが分かっている。
• RQ4 重み付き多様な基底問題の未重み付き数え上げバージョンは、すべての重みが1で$d=1$または$d=2$の場合にPに留まるか、それともNP困難になるか？
• RQ5 すべての重みが1の場合、重み付き多様な共通独立集合問題は多項式時間で解けるか、それとも小さな$k$や$d$に対してもNP困難になるか？

主な発見

• 重み付き多様な基底問題と重み付き多様な共通独立集合問題は、$k$や$d$の小さな値に対してもNP困難である。
• 多様な完全マッチング問題は、$d=1$に対してもNP困難であり、$P = NP$でない限り多項式時間では解けない。
• 3つの問題すべてが、$k$と$d$をパラメータとして、実行時間$2^{2^{O(kd)}}n^{O(1)}$のFPTアルゴリズムを有する。
• 重み付き多様な基底問題に対しては、マトロイドが有限体上に表現されている場合、$\text{poly}(k,d)$-サイズのカーネルを計算する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 多様な完全マッチング問題のアルゴリズムは2段階のアプローチを採用する：まず貪欲に多様な初期マッチング集合を構築し、次に確率的推測と動的計画法を用いて解を高確率で完成させる。
• 多様な完全マッチング問題のアルゴリズムの成功確率は、$2^{2^{O(kd)}}$回の繰り返し後、$1 - 1/e$以上に保証され、高い信頼性を有する。