[論文レビュー] Divided difference operators for partial flag varieties

Julianna Tymoczko|ArXiv.org|Dec 13, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、部分旗多様体 $G/P$ の等化および通常のコホロジーに対して、古典的なシューベルト計算の道具を一般化する差分作用素を導入する。GKMによる等化コホロジーの表現を用いて、二進数列で添え字づけられた多項式上で作用する明示的な作用素 $\tilde{\delta}_i$ を構成し、最高次元クラスからすべてのシューベルトクラスを生成する。また、すべてのリー型およびパラボリック部分群に対して、ビルレーの公式を用いてシューベルト多項式の閉じた公式を導出する。

ABSTRACT

Divided difference operators are degree-reducing operators on the cohomology of flag varieties that are used to compute algebraic invariants of the ring (for instance, structure constants). We identify divided difference operators on the equivariant cohomology of G/P for arbitrary partial flag varieties of arbitrary Lie type, and show how to use them in the ordinary cohomology of G/P. We provide three applications. The first shows that all Schubert classes of partial flag varieties can be generated from a sequence of divided difference operators on the highest-degree Schubert class. The second is a generalization of Billey's formula for the localizations of equivariant Schubert classes of flag varieties to arbitrary partial flag varieties. The third gives a choice of Schubert polynomials for partial flag varieties as well as an explicit formula for each. We focus on the example of maximal Grassmannians, including Grassmannians of k-planes in a complex n-dimensional vector space.

研究の動機と目的

• フル旗多様体から部分旗多様体 $G/P$ へのシューベルト計算における中心的役割を果たす差分作用素を拡張すること。
• 標準的な差分作用素が $G/B$ 内の $G/P$ のコホロジー部分環を保存しないという問題を解決すること。
• 等化コホロロジーとGKM表現を用いて、$G/P$ におけるシューベルト多項式の均一な構成を提供すること。
• 任意の部分旗多様体に一般化された、等化シューベルトクラスの局所化に対するビルレーの公式を拡張すること。
• パラボリック部分群のワイル群に関して不変である、シューベルト多項式の標準的基底を確立すること。

提案手法

• 等化コホロジーのGoresky-Kottwitz-MacPherson (GKM) 表現を用い、固定点上の多項式の組としてクラスを表現し、適合条件を満たす。
• 対称群 $S_n$ が二進数列 $\mathbf{b} \in \mathcal{B}_k$ とトーラスの重み $t_i$ に作用する形で、差分作用素 $\delta_i$ を定義し、公式 $\delta_i p = \frac{p - s_i \cdot p}{t_i - t_{i+1}}$ を用いる。
• 作用素 $\delta_i$ が等化シューベルトクラス $p_{\mathbf{b}}$ に作用するとき、$b_i < b_{i+1}$ ならば $\delta_i p_{\mathbf{b}} = p_{s_i \mathbf{b}}$、さもなくば 0 であることを確立する。
• シューベルト多項式 $\mathfrak{S}_w$ を、$W_J$-平均化写像 $\kappa$ を用いて $p_{w^{-1}}$ の像として構成し、$W_J$-不変性と斉次性を保証する。
• ビルレーの公式を適用して、$\mathfrak{S}_w$ を $W_J$-軌道の和として明示的に計算し、単純根を用いた閉じた表現を得る。
• $G/B$ に引き上げて $G/P$ に制限することで、得られた多項式が $H^*(G/P)$ の構造定数を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分旗多様体 $G/P$ のコホロジーに、構造を保存しシューベルトクラスを生成する差分作用素を定義することは可能か？
• RQ2 任意の部分旗多様体に一般化された、等化シューベルトクラスの局所化に対するビルレーの公式をどのように拡張できるか？
• RQ3 幾何学的構造を尊重する、標準的で不変かつ計算可能な $G/P$ におけるシューベルト多項式の選択肢は何か？
• RQ4 本フレームワークで構成された差分作用素は、ニルコクセター関係を満たし、シューベルトクラスと適切に作用するか？
• RQ5 GKM表現を用いて、斉次で単純根に関して正で、対称多項式を法として乗法に関して閉じた $G/P$ におけるシューベルト多項式を定義可能か？

主な発見

• 本稿は、GKM表現を用いて、$G/P$ の等化コホロジーに差分作用素 $\delta_i$ を構成し、二進数列 $\mathbf{b} \in \mathcal{B}_k$ で添え字づけられた多項式上で作用する。
• これらの作用素は、$b_i < b_{i+1}$ ならば $\delta_i p_{\mathbf{b}} = p_{s_i \mathbf{b}}$、さもなくば 0 であるという重要な性質を満たし、最高次元クラスから再帰的にすべてのシューベルトクラスを生成可能である。
• 作用素は、射影により $G/P$ の通常コホロジーに一意に作用し、環構造を保存する。
• 各 $w \in W^J$ に対して、次数 $\ell(w)$、$W_J$-不変、単純根に関して正である、シューベルト多項式 $\mathfrak{S}_w$ の標準的基底を定義する。
• シューベルト多項式は $H^*(G/P)$ の構造定数を満たす：$\mathfrak{S}_u \mathfrak{S}_v \equiv \sum c_{uv}^w \mathfrak{S}_w \mod I$ であり、$c_{uv}^w$ は $H^*(G/B)$ の構造定数と一致する。
• 最大グレアマンニアン、例えば $G(2,4)$ のような場合、ビルレーの公式により明示的な閉じた表現が得られ、例として $\mathfrak{S}_{s_2 s_1 s_3 s_2} = \frac{1}{6} \alpha_2(\alpha_1 + \alpha_2)(\alpha_2 + \alpha_3)(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$ が得られる。