[論文レビュー] Divided Differences

Carl de Boor|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 2被引用数 82

ひとこと要約

本稿は、ニュートン補間形式における係数としての単変数差分商の新規で機能的な定義を提示し、線形代数と多項式除法を用いてその性質を確立する。差分商が対称的で連続的であり、ヘルメート補間に対応することを証明し、多項式の積に関してリーマン型の公式による表現が得られることを示す。

ABSTRACT

Starting with a novel definition of divided differences, this essay derives and discusses the basic properties of, and facts about, (univariate) divided differences.

研究の動機と目的

• 差分商をニュートン補間形式における係数として、有限差分表とは独立に、厳密に定義すること。
• 多項式基底論を用いて、差分商の対称性、連続性、線形性の性質を分析すること。
• 与えられた点における重複度を考慮したとき、ニュートン形式が次数が $ n $ 未満の多項式に対して一意なヘルメート補間子を提供することを示すこと。
• 二つの多項式の積の差分商に対するライプニーツ型の公式を導出すること。
• 記号 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j) $ を用いて、区間、行列、内積記号との整合性のない表記を回避する一貫性のある記法を提案すること。

提案手法

• 多項式 $ p $ のニュートン展開における中心 $ t_1, \ldots, t_j $ に対する係数 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ として差分商を定義すること。
• ニュートン基底 $ w_{j-1,t} = (\cdot - t_1)\cdots(\cdot - t_{j-1}) $ を用いて、次数が $ n $ 未満の多項式空間の階数付き基底を構成すること。
• 係数列から多項式への写像 $ W_t $ が可逆であることを証明し、一意的な表現を保証し、差分商を $ (W_t^{-1}p)(j) $ として定義すること。
• $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ が $ t_i $ に関して対称的で、$ t $ に関して連続的であり、次数が $ j-1 $ 未満の多項式では消えることを示すこと。
• 積 $ f g $ の差分商に対するライプニーツ型の公式を導出し、低次の差分商の積の和として表現すること。
• $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ の記法を提案し、区間、行列、内積記号との競合を回避すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 差分商を有限差分表とは独立に、ニュートン補間形式における係数として厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 差分商の基本的な代数的・解析的性質、たとえば対称性や連続性とは何か？
• RQ3 ニュートン形式はヘルメート補間とどのように関係しており、なぜ $ n $ 個の点（重複度を含む）において次数が $ n $ 未満の多項式に対して一意な補間子となるのか？
• RQ4 二つの多項式の積の差分商に対してライプニーツ則を導出できるか？
• RQ5 標準的な数学記号と競合しない最適な差分商の記法とは何か？

主な発見

• 差分商は多項式空間上の適切に定義された線形汎関数であり、$ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ は $ p $ のニュートン展開における $ w_{j-1,t} $ の係数である。
• 差分商 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ は点 $ t_1, \ldots, t_j $ に関して対称的であり、ニュートン基底の対称性を反映している。
• 差分商は中心 $ t_1, \ldots, t_j $ に関して連続的である。これは連続写像 $ W_t $ の逆写像であることから導かれる。
• ニュートン形式の最初の $ n $ 項は、$ t_1, \ldots, t_n $ において次数が $ n $ 未満の多項式に対して一意なヘルメート補間子を形成し、各点 $ z $ において重複度 $ \mu_z $ に対し、$ p $ とその $ \mu_z - 1 $ 階微分まで一致する。
• ライプニーツ型の公式が導出された：$ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(s_{1:m})fg = \sum_{i=1}^{m} (s_i - t_{i+p}) \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(s_{1:i})w_{i+p,t} \cdot \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_{1:i+p},s_{i:m}) $、ここで $ p = n - m $。
• 記法 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ は、標準的記法とは競合せず、明示的かつ一貫性のある代替記法として提案される。