[論文レビュー] Dividing Line between Decidable PDA's and Undecidable Ones

Yuxi Fu, Qiang Yin|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特に $ϵ$-pushing および $ϵ$-popping 移動に注目して構造的変種を分析することにより、プッシュダウンオートマトン（PDA）における決定可能と決定不能な分岐 bisimilarity 問題の正確な境界を確立する。$ϵ$-pushing PDA およびノーマライズド PDA に対して、分岐 bisimilarity が $Σ^1_1$-完全であることを証明し、先行する決定可能性結果を包含し、決定可能性の境界を明確に特定する。

ABSTRACT

Senizergues has proved that language equivalence is decidable for disjoint epsilon-deterministic PDA. Stirling has showed that strong bisimilarity is decidable for PDA. On the negative side Srba demonstrated that the weak bisimilarity is undecidable for normed PDA. Later Jancar and Srba established the undecidability of the weak bisimilarity for disjoint epsilon-pushing PDA and disjoint epsilon-popping PDA. These decidability and undecidability results are extended in the present paper. The extension is accomplished by looking at the equivalence checking issue for the branching bisimilarity of several variants of PDA.

研究の動機と目的

• 構造的変種を分析することにより、プッシュダウンオートマトンにおける分岐 bisimilarity の正確な決定可能性フロンティアを特定すること。
• Sénizergues や Stirling の先行決定可能性結果を拡張するため、$ϵ$-pushing および $ϵ$-popping PDA 変種を考察すること。
• タイトな上界と下界を確立することで、PDA における分岐 bisimilarity の複雑さを解明すること。
• プロセス理論的枠組みを通じて、PDA における言語同等性および強 bisimilarity に関する先行結果を統一・一般化すること。
• 非交差性、$ϵ$-決定性、$ϵ$-pushing/popping などの構造的制約が決定可能性に与える役割を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、$ϵ$-pushing PDA を、無音移動がスタックに少なくとも1文字の記号をプッシュするもの（$|α| \geq 1$）として定義し、$ϵ$-popping PDA を、無音移動が高々1文字の記号しかプッシュしないもの（$|α| \leq 1$）として定義する。
• 彼らはゲーム理論的符号化を用い、チューリングマシンの停止問題を $ϵ$-pushing PDA における分岐 bisimilarity に還元する。この際、アタッカーとディフェンダーの間のゲームをシミュレートするプロセス $Γ$ を構成する。
• 構成は、2NEXPTIME-完全なゲームを $ϵ$-pushing 移動を有する PDA に符号化し、無限計算が存在することと、2つの初期状態の間の bisimilarity が同値であることを結びつける。
• 証明はテーブルール法およびプロセス代数的技術、特に分岐 bisimilarity を用いて、PDA 移動の構造を分析する。
• 彼らは、$ϵ$-pushing PDA における分岐 bisimilarity が一階算術で定義可能であることを示し、$Σ^1_1$ に属することを示す。
• 既知の決定不能問題への還元により、$ϵ$-pushing PDA およびノーマライズド PDA における分岐 bisimilarity が $Σ^1_1$-完全であることを証明し、タイトな複雑さの境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDA 変種における決定可能と決定不能な分岐 bisimilarity の正確な境界は何か？
• RQ2 ノーマライズド PDA における強 bisimilarity の決定可能性と、DPDA における言語同等性を、同一の複雑性理論的枠組みで統一できるか？
• RQ3 $ϵ$-pushing PDA における分岐 bisimilarity は決定可能か？ もし非決定的であれば、その正確な複雑さは何か？
• RQ4 非交差性、$ϵ$-pushing/popping などの構造的制約が bisimilarity の決定可能性に与える影響は何か？
• RQ5 PDA における分岐 bisimilarity の複雑さはタイトに境界づけられるか？ また、強 bisimilarity や言語同等性に関する既知の結果と比較してどうなるか？

主な発見

• 分岐 bisimilarity は $ϵ$-pushing PDA に対して $Σ^1_1$-完全であり、明確な決定不能性のフロンティアを確立する。
• この結果は、すべての先行決定可能性結果を包含しており、非交差的 $ϵ$-決定的 PDA における言語同等性の決定可能性（Sénizergues の証明）およびノーマライズド PDA における強 bisimilarity の決定可能性（Stirling の結果）を含む。
• 非交差的 $ϵ$-pushing および $ϵ$-popping PDA における弱 bisimilarity の決定不能性は、一般化され、$Σ^1_1$-完全な複雑さクラスに位置づけられる。
• 証明は、2NEXPTIME-完全問題を $ϵ$-pushing PDA における分岐 bisimilarity に還元するゲーム理論的符号化を用いる。これにより、問題が $Σ^1_1$ に完全であることが示される。
• ノーマライズド PDA における分岐 bisimilarity の複雑さも $Σ^1_1$-完全であることが示され、以前の決定不能性に関する結果を拡張する。
• 本論文で用いられる PDA の構造的定義は、従来のアプローチよりも単純かつより一般化可能であり、一階文法への応用の可能性を示唆する。