[論文レビュー] Divisibility in rings of integer-valued polynomials

Felix Gotti, Bangzheng Li|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2021

Rings, Modules, and Algebras参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、整数値多項式環における可除性の性質を調査し、主イデアルの上昇整列条件（ACCP）を満たさない最初の原子的環のクラスを確立する。Int(S,R) が有限因子分解域（FFD）であるための必要十分条件は、R が FFD であることであることを証明し、原子性および idf-環の性質が一般には R から Int(S,R) に伝播しないが、R が IFD であるとき Int({s},R) は idf-環であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we address various aspects of divisibility by irreducibles in rings consisting of integer-valued polynomials. An integral domain is called atomic if every nonzero nonunit factors into irreducibles. Atomic domains that do not satisfy the ascending chain condition on principal ideals (ACCP) have proved to be elusive, and not many of them have been found since the first one was constructed by A. Grams in 1974. Here we exhibit the first class of atomic rings of integer-valued polynomials without the ACCP. An integral domain is called a finite factorization domain (FFD) if it is simultaneously atomic and an idf-domain (i.e., every nonzero element is divisible by only finitely many irreducibles up to associates). We prove that a ring is an FFD if and only if its ring of integer-valued polynomials is an FFD. In addition, we show that neither being atomic nor being an idf-domain transfer, in general, from an integral domain to its ring of integer-valued polynomials. In the same class of rings of integer-valued polynomials, we consider further properties that are defined in terms of divisibility by irreducibles, including being Cohen-Kaplansky and being Furstenberg.

研究の動機と目的

• 整数値多項式環の原子的環で、主イデアルの上昇整列条件（ACCP）を満たさない最初のクラスを特定し、構成すること。
• 環 Int(S,R) が有限因子分解域（FFD）であるための条件を特徴づけ、R が FFD であることと同値であることを示すこと。
• 整域 R からその整数値多項式環 Int(S,R) への可除性性質（特に原子性、idf-環、Furstenberg 環構造）の伝播を調査すること。
• R が IFD であるとき、Int(S,R) が idf-環のままである条件を特定すること、特に R の有限部分集合 S に対して考察すること。
• Cohen-Kaplansky 環（CKD）が整数値多項式環として現れることはないことの証明と、特定の構成により非原子的 idf-環を構成すること。

提案手法

• A. Grams の 1974 年の例を変更することで、ACCP を満たさない原子的整数値多項式環のクラスを構成する。
• Gregory-Newton の公式を用いて、Int(Z) の元を二項係数の Z-線形結合として表現し、自由 Z-加群構造を活用する。
• 可除性群と関連類を用いて、Int(S,R) における既約因子の解析を行い、関連類を除いた既約因子の有限性に注目する。
• Int(S,R) の既約元の関連類から K[x] の関連類への単射写像を適用し、R が IFD であるとき Int({s},R) の既約因子が有限個であることを証明する。
• 有理錐モノイドを用いた反例構成により、|S| > 1 のとき、R が IFD であっても Int(S,R) が idf-環でないことがあることを示す。
• 有限 S に対する Int(S,R) の構造を、商体 K 上の多項式因子分解に還元し、既約元の根条件を解析することで分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数値多項式環の原子的環が、主イデアルの上昇整列条件（ACCP）を満たさないことは可能か？
• RQ2 R が FFD であると仮定したとき、整数値多項式環 Int(S,R) が有限因子分解域（FFD）であるための条件は何か？
• RQ3 idf-環（各元が有限個の非関連既約因子しか持たない）という性質が、R から Int(S,R) に伝播するか。もし伝播しないなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 整数値多項式環の中に非原子的 idf-環を構成することは可能か。もし可能なら、どのように構成するか？
• RQ5 整数値多項式環が Cohen-Kaplansky 環（CKD）になり得るか。すなわち、関連類を除いて有限個の既約元しか持たないか？

主な発見

• 本論文は、ACCP を満たさない原子的整数値多項式環のクラスを初めて構成し、ACCP を満たさない原子的環の分類における長年の空白を解消する。
• Int(S,R) が FFD であることと、R が FFD であることとは同値であることを証明し、有限因子分解域構造の強い伝播性を確立する。
• 原子性および idf-環の性質が一般には R から Int(S,R) に伝播しないことを示し、Int(S,R) の構成によってこれらの性質が一般に保存されないことを実証する。
• 任意の整域 R と単一要素集合 S={s} に対して、Int({s},R) が idf-環であることと、R が IFD であることは同値であり、|S|=1 の有限 S に対して完全な特徴づけが得られる。
• |S| ≥ 2 のとき、R が IFD であっても Int(S,R) が idf-環でないことがある反例を構成し、単一要素条件の必要性を示す。
• 整数値多項式環は、常に非関連既約元が無限個存在するため、Cohen-Kaplansky 環にはなり得ないことを証明する。