[論文レビュー] Division Algebras; Spinors; Idempotents; The Algebraic Structure of Reality

Geoffrey Dixon|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、実ノルム除法代数（R, C, H, O）、スピン角、およびイデムポテン（idempotents）が、クリフォード代数の枠組み内で相互作用することによって、素粒子物理学の標準模型の代数的構造が生じることを提案する。時空を普遍的クリフォード代数でモデル化し、スピン角空間を除法代数と同一視することで、SU(3)、SU(2)、U(1)のゲージ群、ヘリカルなフェルミオン、およびそれらの相互作用が、オクトンニオンの代数的性質とその表現に埋め込まれており、粒子場と相互作用が代数的設計そのものに内在する統一的数学的構造に至る。

ABSTRACT

A carefully constructed explanation of my connection of the real normed division algebras to the particles, charges and fields of the Standard Model of quarks and leptons provided to an interested group of attendees of the 2nd Mile High Conference on Nonassociative Mathematics in Denver in 2009.06.

研究の動機と目的

• 実ノルム除法代数（R, C, H, O）と時空および素粒子物理学の代数的構造との根本的関係を確立すること。
• 普遍的クリフォード代数を用いて定義されるスピン角が、自然に標準模型のゲージ対称性SU(3)、SU(2)、U(1)を生じることを示すこと。
• オクトンニオンが左乗算と右乗算の代数的構造を介して、フェルミオンの自由度と内部対称性を自然に統一する枠組みを提供すること。
• C, H, OをOの部分代数として扱うのでなく、別個の数学的宇宙として含めることの重要性を主張し、観測された粒子と相互作用との完全な1対1対応を達成すること。

提案手法

• 本稿では、時空を普遍的クリフォード代数Cl(p,q)でモデル化し、R(2)とのテンソル積による表現を用いて、位相8のボット周期性を反映する。
• スピン角空間は、R, C, H上のn×1行列として定義され、クリフォード代数要素による左乗算と、HまたはOによる右乗算による追加の内部対称性が作用する。
• オクトンニオンOは左乗算作用素L_xと右乗算作用素R_xを介して取り扱われ、これらは同型な実行列代数R(8)を生成し、Cl(0,6)と同型である。O自体がスピン角空間として機能する。
• Oの代数的構造は、その7つのクaternion的部分代数（乗法表124, 235, など）を介して、非可換的だが一貫性のある積則を定義する。
• C⊗Hにおけるイデムポテンツを用いてスピン角空間を分解し、右作用としてのSU(2)対称性が出現する。一方、T代数における不変性からSU(3)が生じる。
• 1,9次元の時空フレームワークを構築し、T²スピン角にレプトンとクォークの両家族が含まれる。相互作用は、ディラック型ラグランジアンの実部によって決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型のゲージ群SU(3)、SU(2)、U(1)は、除法代数とスピン角の代数的構造からどのように導出可能か？
• RQ2 イデムポテンツや非可換代数（例：オクトンニオン）は、ヘリカルフェルミオンと内部対称性を生成するために果たす役割は何か？
• RQ3 C, H, OをOの部分代数として扱うのではなく、別個の数学的宇宙として含めることの必要性は何か？
• RQ4 クリフォード代数のスピン角空間に除法代数構造を備えると、自然に粒子多重項とその電荷がどのように符号化されるか？
• RQ5 標準模型の全相互作用は、Tの代数的構造から導かれる単一のラグランジアンの実部に符号化可能か？

主な発見

• Cl(0,6)のスピン角空間はオクトンニオンOと同型であり、Oは除法代数であるため、フェルミオン自由度に自然な乗法的構造を提供する。
• スピン角空間へのHによる右乗算は、SU(2)対称性を生成し、これは弱アイソスピンと同一視され、クリフォード代数作用と可換である。
• T ≃ R⊗S¹⊗S³⊗S⁷は、並進可能球面の積として構成され、S¹, S³, S⁷はそれぞれC, H, Oに対応する。この構造が全粒子内容の基盤をなす。
• 1,9次元の時空モデルでは、1つのT²スピン角にレプトンとクォークの両家族が含まれ、ニュートリノ場はρ₊とΔ₀による射影で特定される。
• νW⁺u_gのような相互作用は、実部に現れない限りラグランジアンで禁止され、フェニマン図を用いずに、完全に代数的基準によって物理的可否を決定づける。
• 本モデルは、除法代数、イデムポテンツ、クリフォード代数といった数学的構造と、観測された粒子、電荷、相互作用との間で1対1対応を達成しており、Tが物理的現実の根本的代数的基盤である可能性を示唆する。