[論文レビュー] Division by three

Peter G. Doyle, John H. Conway|arXiv (Cornell University)|May 31, 2006

graph theory and CDMA systems参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、選択公理に依存せずに、3×A と 3×B の間に全単射が存在するならば、A と B の間にも全単射が存在することを証明している。証明はリンデンバウムが1926年に提示したオリジナルの議論を再構築・検証し、集合論における3で割り算問題に対して構成的で選択公理を必要としない解法を提供する。

ABSTRACT

We prove without appeal to the Axiom of Choice that for any sets A and B, if there is a one-to-one correspondence between 3 cross A and 3 cross B then there is a one-to-one correspondence between A and B. The first such proof, due to Lindenbaum, was announced by Lindenbaum and Tarski in 1926, and subsequently `lost'; Tarski published an alternative proof in 1949. We argue that the proof presented here follows Lindenbaum's original.

研究の動機と目的

• 選択公理を用いずに 3×A ≅ 3×B ならば A ≅ B であることを証明することにより、集合論における基礎的問題を解決すること。
• 発表はされたが完全には保存されていなかったリンデンバウムのオリジナル証明を再構築し、検証すること。
• 論理的明確さと基礎的純粋性を強調し、タルスキの1949年の証明に対する構成的代替案を提供すること。
• 3×A と 3×B の間の全単射が、A と B の間の全単射に帰着可能であることを示し、初等的な集合論的推論のみを用いること。

提案手法

• 集合の互いに素な和集合間の関数の構造に基づく組合せ的議論を用いる。
• 3×A と 3×B の構造を再帰的に分解し、A と B 間の一致する要素を特定する。
• 要素を三重コピーを通じて追跡するマッチングアルゴリズムを用い、一対一対応を確立する。
• 3×A と 3×B の間の全単射の存在に依存し、A と B の要素に置き換え可能な置換構造を誘導する。
• 3×A から 3×B への写像によって誘導される要素の軌道を分析し、A と B の間に全単射を構成する。
• 与えられた全単射に基づく定義可能で明示的な構成のみを用いることで、選択公理を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 選択公理を用いずに、3×A と 3×B が同数であるならば、A と B も同数であると結論づけられるか？
• RQ2 リンデンバウムのオリジナル証明の論理的構造は何か？ そして、完全な厳密性をもって再構築可能か？
• RQ3 与えられた 3×A と 3×B の間の全単射から、A と B の間の全単射を構成的かつ選択公理を用いずに導出できるか？
• RQ4 基礎的仮定と複雑さの観点から、この証明はタルスキの1949年の手法とどのように異なるか？

主な発見

• 3×A と 3×B の間に全単射が存在するならば、選択公理を必要とせず、A と B の間にも全単射が存在する。
• 証明はリンデンバウムが1926年に提示したオリジナルの議論を再構築・検証しており、発表後は完全に失われていた。
• 構成は完全に明示的かつ組合せ的であり、与えられた全単射と集合論的演算のみに依存する。
• 三重コピー上の軌道分解と再帰的マッチングを用いることで、非構成的原則を回避する。
• 結果として、Zermelo-Fraenkel集合論において選択公理を用いずに、与えられた条件下で3で割り算が可能であることが確認された。
• 証明は、有限積の構造が、対称性と置換解析を用いて元の集合を回復可能であることを示している。