[論文レビュー] Divisorial linear algebra of normal semigroup rings

Winfried Bruns, Joseph Gubeladze|ArXiv.org|Jan 10, 2000

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正規半群環において、任意の固定された上限 C に対して、高々 C 個の生成元を持つ除法的イデアルは有限個であることを確立する。組合せ論的および多重次数付きヒルベルト関数の技法を用いて、Cohen–Macaulay である除法的類は有限個であることを証明し、定義する錐の面構造を用いて除法的イデアルの最小深さを特徴付ける。

ABSTRACT

We investigate the minimal number of generators $μ$ and the depth of divisorial ideals over normal semigroup rings. Such ideals are defined by the inhomogeneous systems of linear inequalities associated with the support hyperplanes of the semigroup. The main result is that for every bound $C$ there exist, up to isomorphism, only finitely divisorial ideals $I$ such that $μ(I)\le C$. It follows that there exist only finitely many Cohen--Macaulay divisor classes. Moreover we determine the minimal depth of all divisorial ideals and the behaviour of $μ$ and depth in ``arithmetic progressions'' in the divisor class group. The results are generalized to more general systems of linear inequalities whose homogeneous versions define the semigroup in a not necessarily irredundant way. The ideals arising this way can also be considered as defined by the non-negative solutions of an inhomogeneous system of linear diophantine equations. We also give a more ring-theoretic approach to the theorem on minimal number of generators of divisorial ideals: it turns out to be a special instance of a theorem on the growth of multigraded Hilbert functions.

研究の動機と目的

• 正規半群環における生成元数が有界な除法的イデアルの有限性を特定すること。
• 定義する有理錐の面構造を用いて除法的イデアルの最小深さを特徴付けること。
• 組合せ論的およびヒルベルト関数の議論を用いて、Cohen–Macaulay である除法的類が有限個であることを証明すること。
• 非同次線形ディオファントス不等式系によって定義される除法的イデアルに関する結果を一般化すること。
• 除法的イデアルの最小生成元数と多重次数付きヒルベルト関数の成長との間の環論的関係を確立すること。

提案手法

• 非同次線形不等式系の整数解集合 T を用いて、除法的イデアルをモジュール KT として分析すること。
• 半群環 R をその除法的類群 Cl(R) による次数付き多項式環 P への標準埋め込みを用いること。
• 多重次数付きヒルベルト関数の理論を適用し、算術的等差数列に沿ってヒルベルト関数が C で有界であるならば、そのような値をとる次数付き成分が有限個であることを示すこと。
• 特に正の次元をもつコンパクトな面に注目して、除法的イデアルに関連する凸多面体に関する組合せ論的議論を用いること。
• Frobenius的自己準同型を用いて、錐的除法的イデアルを自己準同型の像上の R の分解における成分として特徴付けること。
• 問題を S の分数群の部分半群に還元し、ランク条件の下でのその和集合におけるギャップを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された上限 C に対して、正規半群環における高々 C 個の生成元を持つ除法的イデアルは有限個か？
• RQ2 正規半群環における任意の除法的イデアルの最小深さは何か？ それは錐の面構造によってどのように決定されるか？
• RQ3 除法的類群において、Cohen–Macaulay モジュールを表す除法的類は有限個か？
• RQ4 除法的類群における算術的等差数列に沿って、μ(I) と depth はどのように振る舞うか？
• RQ5 半群を多項式環への純粋埋め込みとしたとき、その剰余類モジュールが除法的イデアルになるのはどのような条件下か？

主な発見

• 任意の正の整数 C に対して、正規半群環における μ(I) ≤ C を満たす除法的イデアル I は有限個である。
• すべての除法的イデアルの最小深さは、その半群が {0} と交わる部分に生成される錐の最小の面数に等しい。
• 除法的類群において、Cohen–Macaulay モジュールを表す除法的類は有限個である。これは、生成元数が有界なイデアルの有限性の結果である。
• 除法的類群における算術的等差数列に沿って μ(I) と depth がwell-controlled かつ周期的である。
• 除法的イデアルの最小生成元数は多重次数付きヒルベルト関数の成長に支配され、これにより有限性結果の別証明が得られる。
• 不等式 σ_i(z) ≥ σ_i(β) によって定義される錐的除法的イデアルは Cohen–Macaulay であり、R のFrobenius的分解における成分とちょうど一致する。