[論文レビュー] Divisors of Fourier coefficients of modular forms

Sanoli Gun, M. Ram Murty|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、整数係数をもつ正規化されたヘッケ固有形式の重み $k \geq 2$ に対する $\Gamma_0(N)$ におけるフーリエ係数に応用された除数関数の平均順序を調査する。一般化リーマン予想（GRH）のもとで、和 $\sum_{p \leq x,\, a(p) \neq 0} d(a(p))$ が定数 $A$ を用いて $x (\log x)^{A}$ のように漸近的に増加することを確立し、チホタレフ密度および解析的整数論的手法を用いて明示的な境界を導出する。

ABSTRACT

Let $d(n)$ denote the number of divisors of $n$. In this paper, we study the average value of $d(a(p))$, where $p$ is a prime and $a(p)$ is the $p$-th Fourier coefficient of a normalized Hecke eigenform of weight $k \ge 2$ for $Γ_0(N)$ having rational integer Fourier coefficients.

研究の動機と目的

• 正規化されたヘッケ固有形式の $p$ 番目のフーリエ係数における除数関数 $d(a(p))$ の平均順序を研究すること。
• 一般化リーマン予想（GRH）の仮定の下で、$\sum_{p \leq x} d(a(p))$ の漸近的推定を確立すること。
• ガロア表現およびチホタレフ密度を用いて、ヘッケ固有値の因子の分布を分析することで、モジュラー形式の算術的関数に関する結果を拡張すること。
• 形式 $\sum_{p \leq x} d(a(p)) \sim Bx (\log x)^v$ の漸近公式が存在するかどうかを検討すること。ただし $v$ は 0 である可能性もある。

提案手法

• モジュラー形式に付随する表現 $\rho_\delta$ を用いて、$a(p) \equiv 0 \pmod{\delta}$ をガロア拡大におけるフロベニウス共轭類に関連付ける。
• チホタレフ密度定理を適用し、$a(p) \equiv 0 \pmod{\delta}$ を満たす素数 $p \leq x$ の個数 $\pi(x,\delta)$ を密度 $h(\delta) = |C_\delta| / |G_\delta|$ を用いて推定する。
• フリードランダーとイワニエツのヴァン・ダール・コプット法の修正を用いて、除数関数 $d(n)$ を短い指数和で上から抑える。
• 解析的性質を有するディリクレ級数 $F(s) = \sum d(n)^c h(n)/n^s$ および $G(s) = \sum d(n)^c / n^s$ を用い、複素解析を用いて部分和を評価する。
• 完全なGRHが仮定されない場合でも、有効な境界を得るために準GRHを適用する。
• GRHからの誤差項と、$a(p) = 0$ を満たす素数の集合 $Z(x)$ の零点密度推定値を組み合わせ、主和を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GRHのもとで、素数 $p$ における $d(a(p))$ の平均値を漸近的に上界で抑えられるか？
• RQ2 定数 $B$ および $v$ を用いて、形式 $\sum_{p \leq x} d(a(p)) \sim Bx (\log x)^v$ の漸近公式が存在するか？
• RQ3 $a(p) \equiv 0 \pmod{\delta}$ を満たす素数 $p$ の密度 $h(\delta)$ はどのように振る舞い、除数和の推定においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 完全なGRHの強度を緩和しても、和の除数関数におけるべき乗対数的境界を依然として得られるか、その程度はいかほどか？

主な発見

• GRHのもとで、重み $k$ に依存するある定数 $c > 0$ を用いて、$\sum_{p \leq x,\, a(p) \neq 0} d(a(p)) \ll x (\log x)^{2^c - 1}$ が成り立つ。
• 下界は $\sum_{p \leq x,\, a(p) \neq 0} d(a(p)) \gg x$ を満たし、これは和が $x$ に対して少なくとも線形に増加することを示している。
• チホタレフ密度推定値における誤差項は $O(\delta^3 x^{1/2} \log(\delta N x))$ であり、これは $\delta$ に関する和の制御において重要である。
• ディリクレ級数 $F(s) = \sum d(n)^c h(n)/n^s$ に対して、$\sum_{n \leq z} d(n)^c h(n) \ll (\log z)^{2^c}$ が示され、部分和の有効な境界が可能になる。
• 級数 $G(s) = \sum d(n)^c / n^s$ を用いて、$\sum_{n \leq z} d(n)^c \ll z (\log z)^{2^c}$ が確立され、これは $\Re(s) \geq 1$ で正則であることを意味する。
• 結果は準GRHの仮定のもとでも有効であり、$x (\log x)^A$ の形の境界が得られるが、明示的定数は弱くなる。