[論文レビュー] Dixmier Groups and Borel Subgroups

Yuri Berest, Alimjon Eshmatov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 55被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、微分類数 $n$ の有理的特異曲線 $X_n$ 上の微分作用素環 $D(X_n)$ の自己同型群として定義されるDixmier群 $G_n$ を、Calogero-Moser多様体 $ olimits\mathcal{C}_n$ 上での作用を通じて研究する。$n \geq 1$ のとき、$G$ による $ olimits\mathcal{C}_n$ 上の作用は二重推移的であり、相異なる $ olimits\mathcal{C}_{n_i}$ の積上では対角的推移的であることが示され、その結果として安定化部分群 $G_n$ が極大部分群であることが証明され、多項式生成子への共轭作用を用いてBorel部分群の明示的記述が与えられる。

ABSTRACT

Let G be the group of symplectic (unimodular) automorphisms of the free associative algebra on two generators. A theorem of G.Wilson and the first author asserts that G acts transitively the Calogero-Moser spaces C_n for all n. We generalize this theorem in two ways: first, we prove that the action of G on C_n is doubly transitive, meaning that G acts transitively on the configuration space of (ordered) pairs of points in C_n; second, we prove that the diagonal action of G on the product of (any number of) copies of C_n is transitive provided the corresponding n's are pairwise distinct. In the second part of the paper, we study the isotropy subgroups G_n of G in C_n. We equip each G_n with the structure of an ind-algebraic group and classify the Borel subgroups of these ind-algebraic groups for all n. Our classification shows that every Borel subgroup of G (= G_0) is conjugate to the subgroup B of triangular (elementary) automorphisms; on the other hand, for n > 0, the conjugacy classes of Borel subgroups of G_n are parametrized by certain orbits of B in C_n. Our main result is that the conjugacy classes of non-abelian Borel subgroups of G_n correspond precisely to the B-orbits of the C^*-fixed points in C_n and thus, are in bijection with the partitions of n. We also prove an infinite-dimensional analogue of the classical theorem of R.Steinberg, characterizing the (non-abelian) Borel subgroups of G_n in purely group-theoretic terms. Together with our classification this last theorem implies that the G_n are pairwise non-isomorphic as abstract groups. Our study of the groups G_n is motivated by the fact that these are the automorphism groups of non-isomorphic simple algebras Morita equivalent to the Weyl algebra A_1(C). From this perspective, our results generalize well-known theorems of J.Dixmier and L.Makar-Limanov about the automorphism group of A_1(C).

研究の動機と目的

• Dixmier群 $G_n = \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}} D(X_n)$ の構造および表現論を理解すること。ここで $X_n$ は微分類数 $n$ の有理的特異曲線である。
• 自由代数 $R = \mathbb{C}\langle x,y \rangle$ のシンプレクティック自己同型群 $G$ がCalogero-Moser多様体 $ olimits\mathcal{C}_n$ 上に作用する様子を分析すること。
• この作用の強い推移的性質を確立すること。特に、二重推移性および相異なる $ olimits\mathcal{C}_{n_i}$ の積上での対角的推移性を示し、その結果として安定化部分群 $G_n$ が極大部分群であることを導くこと。
• 変換 $(x + \lambda y^{s-1}, y)$ および $(x, y + \lambda x^{s-1})$ によって生成される標準的部分群の共轭を用いて、$G_n$ のBorel部分群を分類すること。この分類には $ olimits\mathcal{C}_n$ の幾何が利用される。

提案手法

• 群 $G$ はWeyl代数 $A_1(\mathbb{C})$ の自己同型群と同一視され、$G_n$ は $G$-作用における $ olimits\mathcal{C}_n$ 上の点の安定化部分群として実現される。
• 二重推移性は、$ olimits\mathcal{C}_n$ 内の相異なる2点の順序付き対のなす空間 $\mathcal{C}_n^{[2]}$ 上での $G$-作用を分析することで証明され、$G$ がこの空間に推移的に作用することを示す。
• 相異なる $n_i$ に対して、積 $\mathcal{C}_{n_1} \times \cdots \times \mathcal{C}_{n_m}$ 上での対角的推移性は、$G$-作用の構造と多様体の幾何を用いて確立される。
• Borel部分群は、標準的部分群 $T \ltimes \{ \Psi_{q(y)} \}$ や $T \ltimes \{ \Phi_{q(x)} \}$ の共轭を用いて構成される。ここで $T$ は対角自己同型のトーラスである。
• 分類は、$T$-固定点と $n$ の整数分割 $\mu$ の間の対応に基づく。各分割 $\mu$ は一意なBorel部分群を定める。
• 明示的な公式は、$\Psi_{-y^k}$ および $\Phi_{x^k}$ による共轭を用いて導出され、部分半群 $S_\mu$ の構造が、関連するワイエルシュトラス多項式 $W_\mu$ の単項式集合 $R\!_\mu$ を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ がCalogero-Moser多様体 $ olimits\mathcal{C}_n$ 上に作用するとき、$n \geq 1$ に対して二重推移的であるか？
• RQ2 相異なる $n_i$ に対して、$G$ の対角的作用 $\mathcal{C}_{n_1} \times \cdots \times \mathcal{C}_{n_m}$ 上でも推移的であるか？
• RQ3 点 $ olimits\mathcal{C}_n$ 上での安定化部分群 $G_n$ は $G$ の極大部分群であるか？
• RQ4 すべての $G_n$ のBorel部分群は、$(x + \lambda y^{s-1}, y)$ および $(x, y + \lambda x^{s-1})$ の形の変換によって生成される標準的部分群の共轭として明示的に記述可能か？
• RQ5 整数分割 $\mu$ に対応する単項式集合 $R_\mu$ を保存する部分半群 $S_\mu \subset \mathbb{N}$ の正確な構造は何か？

主な発見

• すべての $n \geq 1$ に対して、$G$ による $ olimits\mathcal{C}_n$ 上の作用は二重推移的である。これは、$G$ が $ olimits\mathcal{C}_n$ 内の相異なる2点の順序付き対のなす空間に推移的に作用することを意味し、その軌道はちょうど2つである：対角部分集合とその補集合。
• 相異なる $n_1, \ldots, n_m$ に対して、$G$ の対角的作用 $\mathcal{C}_{n_1} \times \cdots \times \mathcal{C}_{n_m}$ 上でも推移的である。これは、異なる $ olimits\mathcal{C}_n$ 間に強いグローバルな対称性が存在することを示唆する。
• 任意の点 $p \in \nolimits\mathcal{C}_n$ に対する安定化部分群 $G_n$ は、$G$ の極大部分群である。これは、$G$-作用の二重推移性の結果である。
• 各 $n$ の整数分割 $\mu$ に対して、$G_n$ のBorel部分群 $B(\mu)$ は $T \ltimes G_{\mu,y}$ に同型であり、ここで $G_{\mu,y}$ は変換 $\Psi_{c y^{s-1}}$ $(s \in S_\mu, c \in \mathbb{C})$ によって生成される。$S_\mu$ はワイエルシュトラス多項式 $W_\mu$ に関連する単項式集合 $R_\mu$ を保存する部分半群である。
• $n=1$ の場合、Borel部分群は $B_{(1)} = T \ltimes \{ \Psi_{c y^k} \mid c \in \mathbb{C}, k \geq 1 \}$ であり、標準Borelの完全なユニポテンツ部分群に一致する。
• $n=2$ の場合、2つのBorel部分群が存在する：$B_{(2)} = T \ltimes \{ \Psi_{c y^k} \mid k \geq 2 \}$ および $B_{(1,1)} = T \ltimes \{ \Phi_{c x^k} \mid k \geq 2 \}$。これは、$ olimits\mathcal{C}_2$ 内の2つの $T$-固定点から生じる異なるルート系を反映している。