[論文レビュー] Do absolutely irreducible group actions have odd dimensional fixed point spaces?

Reiner Lauterbach, P. C. Matthews|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、四元数的表現と計算群論（GAPを介して）を用いて、ℝ⁴上で絶対的完全不可約に作用するが、奇数次元の固定点空間をもつ安定型部分群を一切持たない有限群の無限族を構成することで、等長的分岐理論における長年の予想を反証した。具体的には、SO(4)の特定の部分群としてのこのような群は、完全に対称な平衡解を持つハミルトニアン・ベクトル場を許容するが、標準的な等長的分岐定理の条件では、それらが対称性が低い状態に分岐しない。これは、対称性の破れ分岐理論における重要な仮定を無効にすることを示している。

ABSTRACT

In his volume [5] on "Symmetry Breaking for Compact Lie Groups" Mike Field quotes a private communication by Jorge Ize claiming that any bifurcation problem with absolutely irreducible group action would lead to bifurcation of steady states. The proof should come from the fact that any absolutely irreducible representation possesses an odd dimensional fixed point space. In this paper we show that there are many examples of groups which have absolutely irreducible representations but no odd dimensional fixed point space. This observation may be relevant also for some degree theoretic considerations concerning equivariant bifurcation. Moreover we show that our examples give rise to some interesting Hamiltonian dynamics and we show that despite some complications we can go a long way towards doing explicit computations and providing complete proofs. For some of the invariant theory needed we will depend on some computer aided computations. The work presented here greatly benefited from the computer algebra program GAP [6], which is an indispensable aid for doing the required group theory computations.

研究の動機と目的

• 等長的分岐定理における分岐のための必要条件とされてきた、実ベクトル空間上の絶対的完全不可約群作用が常に奇数次元の固定点空間をもつ安定型部分群を有することを、検証すること。
• 特に高次元において、このような奇数次元の固定点空間が保証されるという広く信じられている信念に反論すること。
• 有限部分群と四元数的表現を用いて、反例を明示的に構成し、この予想を反証すること。
• これらの系のハミルトニアン力学を解析し、完全に対称な平衡解が存在するにもかかわらず、奇数次元の固定点空間が存在しない状況で分岐の枝が生じないことを確認すること。
• GAPを用いた計算フレームワークを提供し、等長的力学における群作用、キャラクター表、不変多項式の検証を可能とすること。

提案手法

• SO(4) ≅ (SU(2) × SU(2))/±(1,1) の同型を用い、四元数を介してℝ⁴上での群作用を表現することで、安定型部分群と固定点空間の明示的計算を可能にする。
• キャラクター理論と群表現論を用い、特に固定点部分空間の次元が偶数であるような安定型部分群 H < G に対して、固定点部分空間の次元を計算する。
• 不変同次多項式の次元を求めるサッティングァーの公式を適用し、群積分を用いてキャラクター値 χ(d)(g) から c_d と C_d を計算する。
• GAPというコンピュータ代数システムを用いて、キャラクター表、共役類、群の位数（1000未満まで）を含む広範な群論的計算を実行する。
• 等長的ベクトル場とそのハミルトニアン構造を解析し、奇数次元の固定点空間が存在しない状況における分岐挙動を研究する。
• 群の位数が1000未満のケース、特に768および960の群について、不変多項式とギャップ数を明示的に計算し、結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実ベクトル空間上の絶対的完全不可約群作用は、常に奇数次元の固定点空間をもつ安定型部分群を有するのだろうか？
• RQ2 すべての非自明な安定型部分群が偶数次元の固定点空間をもつような、ℝ⁴上で絶対的完全不可約に作用する有限群が存在し得るのだろうか？
• RQ3 等長的分岐定理における奇数次元の固定点空間の条件は、対称的力学系における定常状態の分岐に必要なのだろうか？
• RQ4 このような群作用をもつハミルトニアン系は、奇数次元の固定点部分空間が存在しないにもかかわらず、対称な平衡解の分岐を示すのだろうか？
• RQ5 GAPのような計算代数システムは、等長的分岐理論における反例の構成と検証に効果的に用いることができるのだろうか？

主な発見

• 本論文は、すべての非自明な安定型部分群が2次元の固定点空間をもつ、ℝ⁴上で絶対的完全不可約に作用する有限群の無限族を構成した。このため、奇数次元の固定点部分空間は存在しない。
• 具体的な例として、m,n ≥ 3 に対して (Z_m × Z_n)/±(1,1) に同型なSO(4)の部分群があり、これらは絶対的完全不可約に作用するが、奇数次元の固定点空間の条件を満たさない。
• 位数768および960の群に対して、ℝ⁴上で絶対的完全不可約に作用するすべての群のギャップ数を計算・リストアップし、これらのケースで奇数次元の固定点空間が存在しないことを確認した。
• 次元4において、等長的分岐定理の標準的仮定が成立せず、分岐に必要な奇数次元の固定点空間の条件が満たされないことが判明した。
• それでも、等長的ベクトル場とそのハミルトニアン構造の明示的計算が可能であり、これらの系について完全な証明が可能であることを示した。
• 本研究により、すべての絶対的完全不可約作用が奇数次元の固定点空間をもつという予想は誤りであることが確認され、特に4の倍数次元において顕著である。