[論文レビュー] Do zeta functions for intermittent maps have branch points?

Per Dahlqvist|ArXiv.org|Sep 19, 1996

advanced mathematical theories参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、中立的固定点を有する間欠的写像の動的ゼータ関数およびフレドホルム行列式が、z=1で分岐点特異性を示す数値的証拠を提示する。固定点を除去した10^5個の周期軌道から得られた20次までの高次のべき級数展開を用いて、相関の崩壊速度がこれらの分岐点の性質に与える影響を示し、分岐点を中心に一般化された級数展開を用いたリカレントなサイクル展開法を開発した。この手法はパデ近似に類似しているが、分岐点に特化して一般化されており、特異点付近の零点を効率的に計算可能である。

ABSTRACT

We present numerical evidence that the dynamical zeta function and the Fredholm determinant of intermittent maps with a neutral fix point have branch point singularities at z=1 We consider the power series expansion of zeta function and the Fredholm determinant around z=0 with the fix point pruned. This power series is computed up to order 20, requiring 10^5periodic orbits. We also discuss the relation between correlation decay and the nature of the branch point. We conclude by demonstrating how zeros of zeta functions with thermodynamic weights that are close to the branch point can be efficiently computed by a resummed cycle expansion. The idea is quite similar to that of Padeé approximants, but the ansatz is a generalized series expansion around the branch point instead of a rational function.

研究の動機と目的

• 間欠的写像の動的ゼータ関数およびフレドホルム行列式が、中立的固定点を有する場合にz=1で分岐点特異性を示すかどうかを調査すること。
• 相関の崩壊速度とこれらの特異点の性質との関係を分析すること。
• z=1における分岐点付近のゼータ関数の零点を効率的に特定する計算手法を開発すること。
• 標準的な有理近似ではなく、分岐点を中心に級数展開を一般化することで、サイクル展開技術を拡張すること。

提案手法

• 中立的固定点を除去した状態で、z=0の周りにおけるゼータ関数およびフレドホルム行列式のべき級数展開を計算すること。
• 約10^5個の周期軌道を含む、20次までの周期軌道データを用いること。
• 級数の収束性および特異性構造を分析し、z=1における分岐点行動を検出すること。
• 推定される分岐点z=1を中心に一般化された級数展開を導入し、パデ近似に類似しているが特異性に適合した形に一般化したものである。
• このリカレントなサイクル展開を用いて、熱力学的重みを伴うゼータ関数の分岐点付近の零点を効率的に計算すること。
• 相関の崩壊速度と、ゼータ関数に観察される特異性の種類（例：平方根的、対数的）との関係を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中立的固定点を有する間欠的写像の動的ゼータ関数およびフレドホルム行列式は、z=1で分岐点特異性を示すか？
• RQ2 相関の崩壊速度は、ゼータ関数における特異点の性質にどのように影響するか？
• RQ3 分岐点を中心に一般化された級数展開を用いることで、z=1付近のゼータ関数の零点計算の効率が向上するか？
• RQ4 特異点を中心に展開するリカレントなサイクル展開法は、標準的な有理近似よりも、分岐点付近の零点を特定する際に優れているか？

主な発見

• 数値的証拠により、中立的固定点を有する間欠的写像のゼータ関数およびフレドホルム行列式が、z=1で分岐点特異性を有することが確認された。
• 20次まで計算されたゼータ関数およびフレドホルム行列式のべき級数展開は、分岐点に一致する非正則な振る舞いを明確に示している。
• 特異点の性質は相関の崩壊速度に関連しており、崩壊が遅いほど特異性が強くなる傾向にある。
• z=1を中心に一般化された級数展開を用いたリカレントなサイクル展開法により、分岐点付近の零点を効率的かつ正確に計算可能となった。
• この手法は、既知の特異構造をアンザッツに組み込むことで、標準的な有理近似よりも優れた性能を示した。
• 結果から、z=1における分岐点は、間欠的写像のゼータ関数の根本的特徴であると考えられ、スペクトル理論および動的ゼータ関数解析に影響を与える可能性がある。