[論文レビュー] Does Parrondo Paradox occur in Scale Free Networks? -A simple Consideration-

Norihito Toyota|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スケールフリーネットワークにおいて、2つの負けゲームが組み合わさって勝ちの結果を生むパラドックス（パルコンドのパラドックス）が発生するかを、シミュレーションと理論的分析を用いて調査している。研究では、プレイヤーが勝ちの隣人数（しきい値 R）に基づいてゲームを選択する単純な設定において、有限ネットワークではパラドキシカルな挙動が生じず、シミュレーションの結果、ネットワークサイズが増加するにつれてそのような効果が消えることが示唆されており、これは大規模ネットワークにおける本物のパラドックスではなく、有限サイズ効果によるものであると結論づけている。

ABSTRACT

Parrondo's paradox occurs in sequences of games in which a winning expectation may be obtained by playing the games in a random order, even though each game in the sequence may be lost when played individually. Several variations of Parrondo's games apparently with paradoxical property have been introduced; history dependence, one dimensional line, two dimensional lattice and so on. In this article, we examine whether Parrondo's paradox occurs or not in scale free networks. This is interesting as an empirical study, since scale free networks are ubiquitous in our real world. First some simulation results are given and after that theoretical studies are made. As a result, we mostly confirm that Parrondo's paradox can not occur in the naive case, where the game has the same number of parameters as the original Parrondo's game.

研究の動機と目的

• スケールフリーネットワーク（現実のシステムに広く見られる）において、パルコンドのパラドックスが出現するかどうかを調査すること。
• パルコンドのゲーム理論を、規則的な格子にとどまらず、複雑なネットワークトポロジー、特にスケールフリーネットワークに拡張すること。
• プレイヤーの戦略が局所的な近隣構造に依存する場合に、負けゲームのランダムな混合によって勝ちの結果が得られるというパラドキシカルな効果が、継続するかどうかを特定すること。
• ネットワークサイズと次数分布が、パラドキシカルな挙動の発現または抑制に果たす役割を分析すること。
• 有限サイズ効果が、大規模ネットワークにおけるパラドックスの可能性を隠しているかどうかを調査すること。

提案手法

• パワーロウ次数分布（α = 3）を有するバラバシ＝アレクサンダーのスケールフリーネットワーク上でパルコンドのゲームをシミュレートすること。
• ゲームBを、勝ちの隣人数に基づいて定義：勝ちの隣人が R 以上ならゲームW（高い勝率）を、そうでなければゲームL（低い勝率）をプレイする。
• 次数 k を持つノードの割合をモデル化するため、次数分布の離散的近似を用いる。P(k) ∝ k^(-α) を仮定する。
• 次数分布の積分を用いて理論的条件を導出し、混合ゲームにおける期待資産成長を個々のゲームと比較すること。
• 数値積分とシミュレーションを用いて、パラドックスが発生する可能性のあるパrameter領域（特に P_W と P_L）を評価すること。
• ネットワークサイズ（N）と最大次数（k_max）を変化させた際の、パラドキシカルな挙動のロバストネスを評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プレイヤーが勝ちの隣人数に基づく戦略を用いる場合、スケールフリーネットワークにおいてパルコンドのパラドックスが発生するか？
• RQ2 2つの負けゲームを組み合わせることで、スケールフリーネットワークにおいて勝ちの結果が得られるか、たとえ各ゲームが個別に負けでも？
• RQ3 有限ネットワークサイズと次数分布は、スケールフリーネットワークにおけるパラドックスの発現にどのように影響するか？
• RQ4 シミュレーションで観察されたパラドキシカルな挙動は、有限サイズ効果に起因するアーティファクトなのか、熱力学的極限でも持続するのか？
• RQ5 スケールフリーネットワークにおいてパラドックスが発生するためには、P_W と P_L にどのような理論的条件が必要か？

主な発見

• N ≈ 400（k_max = 25）の有限スケールフリーネットワークにおけるシミュレーションでは、理論的分析で有望に見えたパrameterセットに対しても、パルコンドのパラドックスの兆候は観察されなかった。
• 次数分布の積分を用いたパラドックスの理論的条件が導出されたが、ネットワークサイズが増加するにつれて、その条件を満たすパrameter領域は消失した。
• 有限サイズ効果が原因で、小さな R および小さな k_max の場合にのみ、パラドキシカルな挙動の兆候が観察されたが、k_max が増加するにつれてその兆候は消えた。
• R が大きい場合（例：R = 30, 73）には、非常に大きな k_max（例：65, 150）でのみパラドキシカルなパrameter領域が現れたが、さらにサイズを増大させても安定性は確認できなかった。
• 本研究の結論として、単純なモデル（勝ちの隣人数のみがゲーム選択を決定する）では、大規模ネットワークにおいてパルコンドのパラドックスは発生しない。これは、有限サイズ効果が支配的であるためである。
• 著者らは、次数、負けの数、または単純な隣人数を超えた他の構造的特徴を組み込んだより複雑なモデルでは、パラドックスが依然として出現する可能性があると仮説を立てている。