[論文レビュー] Does Quantum Mechanics allow for Infinite Parallelism?

Martin Ziegler|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、量子力学が無限の並列処理を可能にするかを調査し、計算能力と物理的実装可能性を分離する。無限の古典的並列処理——ある族のチューリングマシンを介して——が停止問題とヒルベルトの10番目の問題を解くことができ、再帰的可算性を達成するが、それらでさえも、Totality は解けない。Totality は、このような超計算でさえも到達できないままである。

ABSTRACT

Recent works have independently suggested that Quantum Mechanics might permit for procedures that transcend the power of Turing Machines as well as of `standard' Quantum Computers. These approaches rely on and indicate that Quantum Mechanics seems to support some infinite variant of classical parallel computing. We compare this new one with other attempts towards hypercomputation by separating 1) its principal computing capabilities from 2) realizability issues. The first are shown to coincide with recursive enumerability; the second are considered in analogy to `existence' in mathematical logic.

研究の動機と目的

• 量子力学が無限の並列処理を通じて超計算を可能にするかを明確にすること。
• 無限の並列処理の本質的計算能力を物理的実装可能性の問題から分離すること。
• 物理的実装に依存しない、無限の並列計算によって決定可能な問題の正確なクラスを特定すること。
• 量子力学における無限の並列処理がチューリングマシンの限界を超えるかを評価すること。
• 無限の並列処理によって計算可能となることと、依然として計算不能なこと（例：Totality）との境界を明確にすること。

提案手法

• 自然数 $k \in \mathbb{N}$ でインデックス付けされたチューリングマシンの族 $(M_k)$ を用いた、無限の並列処理の形式的モデルを提案する。各マシンは問題の特定のインスタンスを解く。
• 計算可能族のための4条件（i–iv）を定義する：(i) 入力に対して正しい出力を得ること、(ii) 接受時に停止すること、(iii) $k$ に依存しない有界な実行時間であること、(iv) 統合的マシンから各 $M_k$ を計算可能に生成できること。
• 各 $M_k$ の実行時間を $k$ に依存しない定数にまで短縮するために、線形高速化補題を適用し、モデル内での実行可能性を保証する。
• 各 $M_k$ を逐次シミュレートする汎用チューリングマシンを用い、$k$ に関する存在的探索によって問題の半決定可能性を実現する。
• このモデル下で、任意の再帰的可算（半決定可能）問題が、問題をマシンの族に符号化することで解けることを示す。
• Totality が $\Sigma_1$ クラスの外にあること、したがって再帰的可算でないことから、このモデルが Totality を解けないことを証明する。Totality は $\Pi_2$-完全問題である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学における無限の並列処理は、チューリングマシンの到達不能な問題を解けるか？
• RQ2 形式的マシン族によって定式化された、無限の古典的並列処理の正確な計算能力は何か？
• RQ3 量子力学における無限の並列処理は、標準的量子計算や古典的超計算を上回る能力を達成するか？
• RQ4 停止問題とヒルベルトの10番目の問題は、無限の並列処理によって解けるか？その場合、どのような条件下で？
• RQ5 無限の並列処理の限界は何か——特に、Totality や他の $\Pi_2$-完全問題を解けるか？

主な発見

• 計算可能族のチューリングマシン $(M_k)$ が4条件を満たす無限の古典的並列処理は、任意の半決定可能（再帰的可算）問題を解くのに十分である。
• 停止問題とヒルベルトの10番目の問題は、両方とも再帰的可算であることが知られているため、このモデル下で解ける。
• 線形高速化補題を適用した後、各マシン $M_k$ の実行時間は $k$ に依存しない定数にまで短縮され、モデル内での実行可能性が保証される。
• Totality は $\Pi_2$-完全問題であるが、再帰的可算でないため、このモデルでは解けない。$\Sigma_1$ クラスの外にある。
• このモデル下での無限の並列処理の計算能力は、再帰的可算性と完全に一致する。これは、停止問題のオракルを持つ汎用チューリングマシンが解ける問題のクラスと同じである。
• 量子力学におけるこのような無限の並列処理の物理的実装可能性は未解決の問題のままだが、モデルは、核心的な計算能力がすでに古典的計算で達成可能であることを示している。