[論文レビュー] Dolbeault cohomologies of blowing up complex manifolds

Sheng Rao, Song Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、相対ドーベールコホモロジーを導入することで、コンパクト複素多様体のドーベールコホモロジーに対する爆発公式を確立する。爆発空間 ˜X のドーベールコホモロジーは、元のコホモロジーと中心上のねじれコホモロジーの直和に同型である。主な結果は、Hp,q(˜X) ≅ Hp,q(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hp−i,q−i(Z) であり、これは (p,0) および (0,q)-ホッジ数のビメルモーフィック不変性を示し、コンパクト複素3次元および4次元多様体におけるフレーリッヒャー・スペクトル系列の退化安定性を示す。

ABSTRACT

We prove a blow-up formula for Dolbeault cohomologies of compact complex manifolds by introducing relative Dolbeault cohomology. As corollaries, we present a uniform proof for bimeromorphic invariance of $(\bullet,0)$- and $(0,\bullet)$-Hodge numbers on a compact complex manifold, and obtain the equality for the numbers of the blow-ups and blow-downs in the weak factorization of the bimeromorphic map between two compact complex manifolds with equal $(1,1)$-Hodge number or equivalently second Betti number. Many examples of the latter one are listed. Inspired by these, we obtain the bimeromorphic stability for degeneracy of the Frölicher spectral sequences at $E_1$ on compact complex threefolds and fourfolds.

研究の動機と目的

• . コンパクト複素多様体のドーベールコホモロジーに対する爆発公式を、相対ドーベールコホモロジーを用いて確立すること。
• . コンパクト複素多様体に対して一様に、(p,0) および (0,q)-ホッジ数のビメルモーフィック不変性を証明すること。
• . 突き抜き操作とホッジ数の関係、特に弱因子化の文脈において分析すること。
• . コンパクト複素3次元および4次元多様体におけるビメルモーフィック写像下でのフレーリッヒャー・スペクトル系列の退化を調査すること。
• . 複素幾何における変形の下でのコホモロジック的不変量を理解するための統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• . 突き抜きの下でのコホモロジーの変化を分析するための道具として、相対ドーベールコホモロジー Hp,q(¯∂; X, Z) を導入する。
• . コルデロのヒルシュ補題を適用して、ドーベールコホモロジーの爆発公式を導出する。
• . de Rham複体の短完全系列の可換図式を用いて、X, ˜X, Z, E のコホモロジーを関連付ける。
• . コンパクト台付き形式の準同型写像を用いて、H•_dR,c(U) ≅ H•_dR(X,Z) を関係づけ、コホモロジーを関連付ける。
• . レラ-ヒルシュ定理を用いて、例外的除集合 E のコホモロジーを、H•_dR(Z) 上の自由加群として、基底 {1, t, ..., tr−1} を持つ形で記述する。
• . [54, 定理 3.1] を用いて de Rham コホモロジーにおける π∗ の単射性を示し、de Rham 場合の直和分解を導く。これによりドーベール版の結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . コンパクト複素多様体のドーベールコホモロジーは、特に爆発写像の下でも不変であるか？
• RQ2 . (p,0)-ホッジ数 hp,0 は、コンパクト複素多様体に対してビメルモーフィック不変量か？
• RQ3 . ビメルモーフィック写像の下でも、コンパクト複素3次元および4次元多様体におけるフレーリッヒャー・スペクトル系列の E1 での退化は保たれるか？
• RQ4 . 相対コホモロジーとヒルシュ型補題を用いて、ドーベールコホモロジーの爆発公式を一様に導出できるか？
• RQ5 . 2つのビメルモーフィックに同値なコンパクト複素多様体のホッジ数の正確な関係は何か？

主な発見

• . ドーベールコホモロジーの爆発公式が確立された：codimension r ≥ 2 の滑らかな中心に沿った爆発に対して、Hp,q(˜X) ≅ Hp,q(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hp−i,q−i(Z) が成り立つ。
• . (p,0)-および (0,q)-ホッジ数はビメルモーフィック不変量であり、この古典的結果の統一的証明が得られた。
• . 第二ベッチ数が等しいコンパクト複素多様体間のビメルモーフィック写像の弱因子化において、爆発と爆発の反転の数は等しい。
• . コンパクト複素3次元および4次元多様体において、ビメルモーフィック写像の下でフレーリッヒャー・スペクトル系列は E1 で退化する。
• . 突き抜き写像 π を通じて、相対ドーベールコホモロジーは Hp,q(¯∂; X, Z) ≅ Hp,q(¯∂; ˜X, E) を満たす。
• . de Rham の爆発公式が副産物として得られ、Hk_dR(˜X) ≅ Hk_dR(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hk−2i_dR(Z) の同型が確認された。