[論文レビュー] Domain decomposition methods for compressed sensing

Massimo Fornasier, Andreas Langer+1 more|ArXiv.org|Feb 1, 2009

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、画像再構成における圧縮センシングおよび全 variation 最小化問題を解くために、重複ありおよび重複なしの部分領域分割を用いたドメイン分解法を提案する。この手法により、グローバル最小値に収束する効率的で並列化可能なアルゴリズムが実現され、1次元／2次元信号補間、画像インpainting、部分フーリエデータからの区分的定数型医用画像の回復において成功が確認された。

ABSTRACT

We present several domain decomposition algorithms for sequential and parallel minimization of functionals formed by a discrepancy term with respect to data and total variation constraints. The convergence properties of the algorithms are analyzed. We provide several numerical experiments, showing the successful application of the algorithms for the restoration 1D and 2D signals in interpolation/inpainting problems respectively, and in a compressed sensing problem, for recovering piecewise constant medical-type images from partial Fourier ensembles.

研究の動機と目的

• 大規模な圧縮センシングおよび全 variation 最小化問題を解くための効率的ドメイン分解アルゴリズムの開発を目的とする。
• ドメイン分解法における部分領域間での全 variation の非加法性という課題に対処することを目的とする。
• 界面の不連続性や重複部分領域の複雑さがあっても、グローバル最小値に収束することを保証することを目的とする。
• 4次元医用画像や地震トモグラフィーなどの大規模な画像処理問題を、リアルタイムまたはニアリアルタイムで処理できることを目的とする。
• 信号補間、画像インpainting、医用画像タイプの圧縮センシングに関する数値的検証を提供することを目的とする。

提案手法

• 本稿では、凸集合への射影とブレグマン反復に基づく逐次的および並列的ドメイン分解アルゴリズムを定式化する。
• 境界での整合性を保つためにユニオン分割を用い、数値的オシレーションを制御する。
• 局所的部分問題は、データ適合性と全 variation の組み合わせに基づく関数の反復的最小化により解かれ、部分領域境界に制約が課される。
• アルゴリズムは、$αK$-射影にシャンボールの射影法を用い、ラグランジュ乗数を導入して境界条件を満たす。
• 技術的条件の下で収束性が解析され、目的関数が単調に減少し、部分列がグローバル最小値に収束することが示された。
• 反復的更新により、局所的部分問題の解法と、ユニオン分割を用いた界面補正ステップを交互に実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全 variation 最小化にドメイン分解法を効果的に適用でき、収束保証が得られるか？
• RQ2 重複ありおよび重複なしの部分領域分割をどのように設計すれば、界面における全 variation の非加法性に対処できるか？
• RQ3 反復的ドメイン分解アルゴリズムが全 variation 関数のグローバル最小値に収束するための条件は何か？
• RQ4 4次元医用画像や地震トモグラフィーなどの大規模画像処理問題に対して、この手法はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 部分フーリエデータからの医用画像回復において、このアルゴリズムはエッジや区分的定数構造をどの程度保持できるか？

主な発見

• 提案されたドメイン分解アルゴリズムは、目的関数が単調に減少し、部分列がグローバル最小値に収束することが確認された。
• 重複ありの場合、追加の技術的仮定が不要な条件下で、グローバル最小値への収束が保証された。
• 重複なしの場合、分割および部分問題定式化に関する特定の技術的条件を満たせば、グローバル最小値への収束が保証された。
• 数値実験により、重複ありおよび重複なしの両方の分割を用いて、1次元信号補間および2次元画像インpaintingへの応用が成功した。
• 部分フーリエデータからの区分的定数型医用画像の回復において、明確なエッジ保持とアーチファクト低減が実現された。
• 大規模問題に対してもスケーラブルであり、4次元医用画像処理などの高次元画像タスクにおける効率的並列計算が可能となった。