[論文レビュー] Domain Decomposition with local impedance conditions for the Helmholtz equation with absorption

Ivan G. Graham, Euan A. Spence+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2018

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 52被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、吸収項を伴うヘルムホルツ方程式に対して、局所的インピーダンス条件を適用した重複部分領域を用いた1レベルの加法的 Schwarz予条件子を提案する。部分領域間の重複は、領域直径 H と重複幅 δ ≤ H で定義され、延長作用素はユニオン・オブ・ユニティに基づく。数値実験では、GMRES法の収束が k に依存しないことが確認され、理論的境界が導出され、ε/k が定数またはゆっくりと増加する場合に、吸収問題に対してロバストであることが保証される。この結果は、純粋なヘルムホルツ問題に対する予条件子としての有効性を支持する。

ABSTRACT

We consider one-level additive Schwarz preconditioners for a family of Helmholtz problems with absorption and increasing wavenumber $k$. These problems are discretized using the Galerkin method with nodal conforming finite elements of any (fixed) order on meshes with diameter $h = h(k)$, chosen to maintain accuracy as $k$ increases. The action of the preconditioner requires solution of independent (parallel) subproblems (with impedance boundary conditions) on overlapping subdomains of diameter $H$ and overlap $δ\leq H$. The solutions of these subproblems are linked together using prolongation/restriction operators defined using a partition of unity. In numerical experiments (with $δ\sim H$) for a model interior impedance problem, we observe robust (i.e. $k-$independent) GMRES convergence as $k$ increases. This provides a highly-parallel, $k-$robust one-level domain decomposition method. We provide supporting theory by studying the preconditioner applied to a range of absorptive problems, $k^2\mapsto k^2+ \mathrm{i} \varepsilon$, with absorption parameter $\varepsilon$. Working in the Helmholtz ``energy'' inner product, and using the underlying theory of Helmholtz boundary-value problems, we prove a $k-$independent upper bound on the norm of the preconditioned matrix, valid for all $\vert \varepsilon\vert \lesssim k^2$. We also prove a strictly-positive lower bound on the distance of the field of values of the preconditioned matrix from the origin which holds when $\varepsilon/k$ is constant or growing arbitrarily slowly with $k$. These results imply robustness of the preconditioner for the corresponding absorptive problem as k increases and give theoretical support for the observed robustness of the preconditioner for the pure Helmholtz problem.

研究の動機と目的

• 高周波数のヘルムホルツ問題に適した並列的で k に依存しない予条件子の開発。
• 重複部分領域上に局所的インピーダンス条件を適用した1レベル加法的 Schwarz 法の収束特性の分析。
• 数値実験で観察された k に依存しない収束性を、予条件子行列のノルムおよびフィールド・オブ・バリューズの理論的境界によって正当化する。
• 吸収項を伴うヘルムホルツ問題が、純粋なヘルムホルツ問題に対する有効な予条件子として使用可能であることを支持する。

提案手法

• 部分領域の直径を H とし、重複幅 δ ≤ H とする重複部分領域を用い、部分領域境界にインピーダンス境界条件を適用する。
• 有限要素法による離散化を用い、ノード型の連続的要素と、k の増加に伴って精度を維持できるように h = h(k) と設定したメッシュを用いて、部分問題を並列に解く。
• 延長作用素と制限作用素はユニオン・オブ・ユニティに基づいて定義され、加法的 Schwarz フレームワークにおける一貫性と安定性を保証する。
• 予条件子はヘルムホルツエネルギー内積において分析され、吸収項を伴うヘルムホルツ境界値問題の既知の理論を活用する。
• |ε| ≤ Ck² かつ ε/k が有界またはゆっくりと増加する条件下で、予条件子行列のノルムおよびフィールド・オブ・バリューズの理論的境界を導出する。
• 数値実験では、k, H, ε, 部分領域サイズを変化させた場合の収束性を検証し、固定 H およびディリクレ境界条件を用いたケースも含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的インピーダンス条件を用いた領域分割予条件子は、高波数のヘルムホルツ問題に対して、GMRES法の収束が k に依存しないことを達成できるか？
• RQ2 吸収項を伴うヘルムホルツ設定において、予条件子行列のノルムおよびフィールド・オブ・バリューズにどのような理論的境界を設定できるか？
• RQ3 予条件子における吸収パラメータ ε の選択が、k の増加に伴う収束のロバスト性にどのように影響するか？
• RQ4 部分領域にインピーダンス条件を適用する場合とディリクレ条件を適用する場合とを比較したとき、予条件子の効率性に顕著な差が生じるか？
• RQ5 ε ~ k である吸収項を伴う問題が、純粋なヘルムホルツ問題に対するロバストな予条件子として機能できるか？この仮説は理論的に裏付けられているか？

主な発見

• 数値実験により、H ~ k^(-α) かつ α ∈ [0, 0.4] の場合に、GMRES法の収束が k に依存しないことが示され、吸収問題に対するロバスト性が裏付けられた。
• |ε| ≤ Ck² の条件下で、予条件子行列のノルムに対する k に依存しない上界が理論的に証明された。この上界は、研究された吸収問題の全範囲に適用可能である。
• ε/k が定数または任意にゆっくりと増加する場合に、フィールド・オブ・バリューズの原点からの距離に正の下界が確立され、収束のロバスト性が保証された。
• 予条件子における吸収項を削除（ε_prec = 0）しても、依然として予条件子は有効であるが、ε_prec = k の場合に比べて収束性がわずかに劣る。
• 部分領域にディリクレ条件を適用した場合、インピーダンス条件を適用した場合と比較して、特に k が大きい場合に収束性が著しく劣化するため、インピーダンス条件の重要性が明確になった。
• 驚くべきことに、GMRES法において初期推定値をランダムに設定した場合、ゼロの初期推定値よりも反復回数が少なくなるが、その理由は明記されていない。