[論文レビュー] Domain Theory: An Introduction

Robert Cartwright, Rebecca J. Parsons+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この独創的論文は、有限基底（有限かつ一貫した部分集合の上界に関して閉じた）を用いた、分野理論の見直され、理解しやすい定式化を提示する。これは、プログラミング言語における計算データ値、演算、再帰の数学的に厳密なフレームワークを提供する。主な貢献は、ユニバーサル・ドメインへの射影を通じて、高階計算、不動点、型付きラムダ計算の意味論を統合的かつ効果的に扱えるドメインの統一的かつ効果的な提示である。

ABSTRACT

This monograph is an ongoing revision of "Lectures On A Mathematical Theory of Computation" by Dana Scott. Scott's monograph uses a formulation of domains called neighborhood systems in which finite elements are selected subsets of a master set of objects called "tokens". Since tokens have little intuitive significance, Scott has discarded neighborhood systems in favor of an equivalent formulation of domains called information systems. Unfortunately, he has not rewritten his monograph to reflect this change. We have rewritten Scott's monograph in terms of finitary bases instead of information systems. A finitary basis is an information system that is closed under least upper bounds on finite consistent subsets. This convention ensures that every finite answer is represented by a single basis object instead of a set of objects.

研究の動機と目的

• 古くなった近傍系の代わりに有限基底を用いる、現代的で理解しやすい分野理論の定式化を提供すること。
• 無限、部分的に定義された、および有限最大のデータ値を統合的な計算フレームワーク内でモデル化する基盤を確立すること。
• ドメインコンストラクタ（積、関数空間）と再帰的定義が、近似可能な写像と射影を用いてどのように形式化できるかを示すこと。
• 型付きラムダ計算におけるすべての計算可能関数と構成が、有効な表現を通じてユニバーサル・ドメインに埋め込まれることを示すこと。
• 有効なドメインコンストラクタを通じて計算可能性と不動点性を保証することにより、高階プログラミング言語の意味論を支援すること。

提案手法

• 情報系や近傍系の代わりに有限基底を用いることで、ダン・スコットの元来の分野理論を再定式化し、すべての有限データ値が単一の基底要素によって表現されることを保証する。
• ドメインを可算で方向付き完全な基底を持つ完全部分順序（CPO）として定義し、有限要素を無限値への近似として扱う。
• 近似順序と上界を保存する近似可能な写像と連続関数を、ドメイン間の核心的モルフィズムとして導入する。
• 圏論的構成を用いてドメインコンストラクタ（積、関数空間）を構築し、再帰的射影と再帰的射影を用いてその計算可能性を証明する。
• ユニバーサル・ドメイン 𝒰 をすべての計算可能要素のキャリアとして用い、すべてのドメインが有限射影を通じて部分ドメインとして埋め込まれることを示す。
• 型埋め込みと射影に基づく同型写像を用いて、型付きラムダ計算をユニバーサル・ドメインに翻訳し、意味論と計算可能性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近傍系のような抽象的で直感的でない構成に依存しないように、分野理論をどのように再定式化できるか？
• RQ2 有限基底は、有限データ値とその近似の効果的かつ標準的な表現を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 積や関数空間のようなドメインコンストラクタが、統一的なフレームワーク内でどのように定義され、計算可能であると証明できるか？
• RQ4 すべての計算可能関数と再帰的定義が、有効な表現を通じて単一のユニバーサル・ドメインに収容可能か？
• RQ5 型構造と計算可能性を保ちながら、型付きラムダ計算の意味論をユニバーサル・ドメインに埋め込む方法は何か？

主な発見

• 有限基底は、情報系や近傍系よりも直感的で効果的な代替手段を提供し、すべての有限データ値が単一の基底オブジェクトによって表現されることを保証する。
• ユニバーサル・ドメイン 𝒰 はすべての計算可能要素をサポートし、すべての有効に提示されたドメインのキャリアとして機能する。すべてのドメインは有限射影を通じて部分ドメインとして埋め込まれる。
• すべてのドメインコンストラクタ—積、関数空間、および多次元合成—が、ユニバーサル・ドメイン上の射影の上での計算可能コンビネータとして示される。
• 再帰的定義と不動点は、標準的な不動点法によって捉えられ、すべての計算可能写像が計算可能な不動点を持つことが保証される。
• 型付きラムダ計算は、射影に基づく同型写像を通じてユニバーサル・ドメインに完全に埋め込まれ、型と意味論が保たれる。
• ドメインの有効な提示により、計算可能要素がユニバーサル・ドメインの有効に提示された部分ドメインに正確に対応することが保証される。