[論文レビュー] Domain wall of the totally asymmetric exclusion process without particle number conservation

Yunxin Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、粒子の生成と消滅を伴う完全非対称排除過程（TASEP）を理論的に検討し、平均場近似およびランキン＝ヒュゴニオ条件を用いて、ドメインウォールの存在に必要な十分条件を確立した。ドメインウォールの位置と高さの正確な解析的表現を導出し、それらが境界からの注入率 $\alpha$、排出率 $\beta$、粒子生成・消滅率 $\Omega_a$、$\Omega_d$ に依存することを示した。得られた結果は、シミュレーションによっても裏付けられた。

ABSTRACT

In this research, the totally asymmetric exclusion process without particle number conservation is discussed. Based on the mean field approximation and the Rankine-Hugoniot condition, the necessary and sufficient conditions of the existence of the domain wall have been obtained. Moreover, the properties of the domain wall, including the location and height, have been studied theoretically. All the theoretical results are demonstrated by the computer simulations.

研究の動機と目的

• 粒子数保存が成り立たないTASEPにおけるドメインウォールの存在に必要な十分条件を理論的に特定すること。
• $\alpha$、$\beta$、$K=\Omega_a/\Omega_d$、$\Omega_d$ をパラメータとして、ドメインウォールの位置と高さを解析的に導出すること。
• 従来は主にシミュレーションでのみ研究されてきた、非保存的TASEP系におけるドメインウォールの性質に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 熱力学的極限における定常密度分布を記述する連続的な微分方程式を導出するために、平均場近似を適用すること。
• 密度分布における不連続性（ドメインウォール）の位置を特定するために、ランキン＝ヒュゴニオ条件を用いること。
• 左および右の境界条件の下で平均場方程式を解き、密度プロファイル $\rho_{l\alpha}(x)$ と $\rho_{r\beta}(x)$ を得ること。
• ドメインウォールの存在条件を特定するため、逆関数 $\rho_{l\alpha}^{-1}(\gamma)$ と $\rho_{r\beta}^{-1}(1-\alpha)$ の暗黙的方程式を導出すること。
• ドメインウォールの高さ $2\epsilon$ と位置 $x_S$ について、$\alpha$、$\beta$、$K$、$\Omega_d$ に関する偏微分を解析的に計算し、単調性を特定すること。
• 理論的予測の妥当性を確認するため、数値シミュレーションによる検証を実施し、解析的結果と一致することを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Langmuir動態を伴う非保存的TASEPにおいて、ドメインウォールが存在する条件は何か？
• RQ2 ドメインウォールの位置 $x_S$ は、注入率 $\alpha$、排出率 $\beta$、および比 $K=\Omega_a/\Omega_d$ にどのように依存するか？
• RQ3 ドメインウォールの高さ $2\epsilon$ は、$\alpha$、$\beta$、$K$、$\Omega_d$ にどのように依存するか？
• RQ4 ドメインウォールの高さは $\alpha$、$\beta$、$K$、$\Omega_d$ に関して単調か。そうでない場合、極値はどこに位置するか？
• RQ5 ドメインウォールプロファイルの正確な解析的表現および定常状態における安定性は何か？

主な発見

• ドメインウォールが存在するのは、$\rho_{l\alpha}^{-1}(\gamma) \leq 1$ かつ $\rho_{r\gamma}^{-1}(1-\alpha) \leq 0$ が成り立つ場合に限る。ただし $\gamma = \min(0.5, \beta)$ であり、$0 \leq \alpha \leq 0.5$ かつ $1-\beta \leq K/(K+1)$ のときを満たす。
• $0.5 \leq \alpha \leq 1$ の範囲では、他のパラメータにかかわらずドメインウォールは存在しない。
• ドメインウォールの位置 $x_S$ は $\beta$ に対して単調に増加し、$\alpha$ に対して単調に減少する。これは、注入率が増加するにつれてドメインウォールが右端にずれる傾向を示している。
• ドメインウォールの高さ $2\epsilon$ は、すべての $0 \leq \alpha, \beta \leq 0.5$ に対して $\beta$ に関して単調に減少し、排出率がウォールの振幅を抑制する効果があることを確認した。
• $\frac{1}{K+1} \leq \beta \leq 0.5$ かつ $K \geq 3$ の範囲では、高さ $2\epsilon$ は $K$ および $\Omega_d$ に対して増加し、位置 $x_S$ は両者に対して減少する。
• $0 \leq \beta \leq \frac{1}{K+1}$ の範囲では、高さ $2\epsilon$ は $\alpha$ および $\Omega_d$ に対して減少し、位置 $x_S$ は $K$ に対して単調でない挙動を示す。