[論文レビュー] Domains for Higher-Order Games

Matthew Hague, Roland Meyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、2人零和包含ゲームの高階再帰的スキーマ上での解析を目的として、原子命題としてオートマトン状態を用いる無限ブール論理式に基づく新規なドメインを導入する。抽象解釈を用いてこの無限ドメインを有限ドメインに抽象化することで、勝利領域の効率的な不動点計算が可能となり、高階再帰的スキーマの順序kに対して(k+1)EXPのアルゴリズムを達成し、一致する下界を用いて最適性を示している。

ABSTRACT

We study two-player inclusion games played over word-generating higher-order recursion schemes. While inclusion checks are known to capture verification problems, two-player games generalize this relationship to program synthesis. In such games, non-terminals of the grammar are controlled by opposing players. The goal of the existential player is to avoid producing a word that lies outside of a regular language of safe words. We contribute a new domain that provides a representation of the winning region of such games. Our domain is based on (functions over) potentially infinite Boolean formulas with words as atomic propositions. We develop an abstract interpretation framework that we instantiate to abstract this domain into a domain where the propositions are replaced by states of a finite automaton. This second domain is therefore finite and we obtain, via standard fixed-point techniques, a direct algorithm for the analysis of two-player inclusion games. We show, via a second instantiation of the framework, that our finite domain can be optimized, leading to a (k+1)EXP algorithm for order-k recursion schemes. We give a matching lower bound, showing that our approach is optimal. Since our approach is based on standard Kleene iteration, existing techniques and tools for fixed-point computations can be applied.

研究の動機と目的

• 高階再帰的スキーマ上の2人零和包含ゲームを直接かつ効率的に解くためのアルゴリズムを開発すること。
• 高価な事前計算を回避するため、反復的で仕様駆動の解析を可能とするPodelskiのループを用いたプログラム合成を支援すること。
• 到達可能性やモデルチェックイングへの還元を避けるために、非決定的正則仕様を直接解析に組み込むこと。
• 不動点計算をサポートしつつ、高階ゲームに対して最適な複雑度を維持するドメインを提供すること。

提案手法

• 目的の正則言語を認識する有限オートマトンの状態を原子命題とする無限ブール論理式のドメインを提案する。
• 原子命題をオートマトン状態に置き換えることで、抽象解釈を用いてこの無限ドメインを有限ドメインに抽象化する。
• 有限ドメイン上で標準的なクレイン・イテレーションを用いて、不動点計算により勝利領域を計算する。
• 決定化情報の解消により有限ドメインを最適化し、存在的プレーヤーが解析内での非決定性を解消できるようにする。
• 戦略合成問題を所有権と受容条件を保持したまま、高階再帰的スキーマ上のゲームに還元する。
• k反復プッシュダウンオートマトンと高階スキーマの間の対応関係を確立し、(k+1)EXP-hardnessを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非決定的仕様を有する高階包含ゲームの勝利領域について、直接不動点計算が可能なドメインを構築できるか？
• RQ2 オートマトン状態上の無限ブール論理式を、ゲーム解法に必要な表現力を失わず、有限ドメインに抽象化できるか？
• RQ3 得られたアルゴリズムが、順序kの再帰的スキーマに対して最適な複雑度を達成できるか？
• RQ4 非決定性のある仕様を、決定化や積構成などの高価な事前計算を回避して解析内で処理できるか？
• RQ5 高階再帰的スキーマ上での2人零和包含ゲームを解く正確な複雑度は何か？

主な発見

• 提案されたドメインにより、到達可能性ゲームへの還元を避ける標準的手法を用いて、勝利領域の直接的不動点計算が可能である。
• 抽象解釈による有限抽象化により、順序kの再帰的スキーマに対して(k+1)EXPのアルゴリズムが得られる。
• 本稿では一致する(k+1)EXP-hardnessの下界を確立しており、アルゴリズムの最適性が示されている。
• 本手法は非決定的仕様を内蔵的に処理でき、事前決定化や積構成を必要としない。
• 仕様サイズに依存するため、Podelskiのループにおける反復的利用が可能であり、広範なプログラム計算を避ける。
• k反復プッシュダウンオートマトンと高階スキーマの間のタイトな対応関係が構築され、下界の証明が可能になった。