[論文レビュー] Dominance Move: A Measure of Comparing Solution Sets in Multiobjective Optimization

Miqing Li, Xin Yao|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多目的最適化における解集合の比較のための新しい二値品質指標であるドミナス・ムーブ（DoM）を紹介する。DoMは、ある集合が別の集合を弱くパレート支配するための最小総移動量を定量化し、参照点や問題固有のパラメータを必要とせず、収束性、多様性、均一性、基数を捉える。パレート適合性を満たし、解集合の差を直感的に反映し、ベンチマークケースにおいて既存の指標を上回る性能を示す。

ABSTRACT

One of the most common approaches for multiobjective optimization is to generate a solution set that well approximates the whole Pareto-optimal frontier to facilitate the later decision-making process. However, how to evaluate and compare the quality of different solution sets remains challenging. Existing measures typically require additional problem knowledge and information, such as a reference point or a substituted set of the Pareto-optimal frontier. In this paper, we propose a quality measure, called dominance move (DoM), to compare solution sets generated by multiobjective optimizers. Given two solution sets, DoM measures the minimum sum of move distances for one set to weakly Pareto dominate the other set. DoM can be seen as a natural reflection of the difference between two solutions, capturing all aspects of solution sets' quality, being compliant with Pareto dominance, and does not need any additional problem knowledge and parameters. We present an exact method to calculate the DoM in the biobjective case. We show the necessary condition of constructing the optimal partition for a solution set's minimum move, and accordingly propose an efficient algorithm to recursively calculate the DoM. Finally, DoM is evaluated on several groups of artificial and real test cases as well as by a comparison with two well-established quality measures.

研究の動機と目的

• 参照集合や問題に関する知識が存在しない状況において、多目的最適化における解集合の評価と比較の課題に対処すること。
• 解集合の収束性、多様性、均一性、基数を包括的に捉える品質指標を開発すること。
• 既存の指標が示す支配関係の矛盾を避けるために、指標がパレート適合性を満たすようにすること。
• 参照点、理想点、ユーザ定義パラメータなどの外部入力に依存しないようにすること。
• 特に二目的問題において、直感的で計算可能かつ実用的な解集合比較手法を提供すること。

提案手法

• DoMは、ある解集合の点を移動させることで、その結果得られる集合が別の集合を弱くパレート支配するための、ユークリッド距離の最小合計として定義される。
• 二目的問題における正確なアルゴリズムが提案され、同じグループに属する点は同時に移動可能であるような最適な部分集合分割を特定することに基づく。
• 本手法の鍵となる洞察は、二目的問題において、解とその内部近隣解は最適分割において常に同じグループに属することである。
• 二変数の幾何的構造を活用して、効率的な再帰的アルゴリズムを設計し、DoMを効率的に計算する。
• 参照点や問題固有のパラメータに依存しないため、普遍的に適用可能である。
• 人工的および実世界のテストケース、特に0-1ナップサック問題とZDT3問題を用いた体系的な実験により、手法の有効性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 参照点や問題固有のパラメータを必要とせず、解集合を評価できる品質指標を開発できるか？
• RQ2 収束性、多様性、均一性、基数を包括的に反映できる指標はどのように構築できるか？
• RQ3 提案された指標はパレート支配と整合的であり、直感に反する順序付けを避けるか？
• RQ4 既存の指標が失敗する状況、例えば不連続なパレートフロントや非対称な空間的分布を持つ場合に、DoMは解集合を効果的に区別できるか？
• RQ5 二目的問題においてDoMを効率的に計算するアルゴリズムは存在するか？また、高次元に一般化可能か？

主な発見

• DoMは、外部の問題知識を必要とせず、収束性、多様性、均一性、基数のすべての主要な側面を的確に捉える。
• 二目的問題において、最適な部分集合分割に基づく再帰的アルゴリズムを用いることで、DoMを正確に計算可能であり、隣接する解が同じグループに属する幾何的性質を活用している。
• 0-1ナップサック問題の二目的ケースにおいて、DoMはMOEA/Dの優れた多様性を正しく特定し、NSGA-IIからMOEA/DへのDoM値は285である一方、逆方向では1244に達する。
• 不連続なパレートフロンティアを有する連続的ZDT3問題において、DoMはNSGA-IIの解集合をMOEA/Dのそれよりも高く評価し、それぞれのDoM値は0.082と0.163であった。
• 参照点への感受性や支配情報の限界による誤った順序付けを引き起こす場合、従来の指標（ハイパーボリュームやεインジケーター）よりもDoMが優れている。
• 本手法はパレート適合性を満たす：集合Aが集合Bを弱く支配する場合、常にDoM(A,B) < DoM(B,A)が成り立ち、比較における論理的整合性が保証される。